Рівняння Нав'є — Стокса

Проблеми тисячоліття
Рівність класів P і NP
Гіпотеза Годжа
Гіпотеза Пуанкаре*
Гіпотеза Рімана
Квантова теорія Янга — Мілса
Рівняння Нав'є — Стокса
Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра
* доведені

Рівня́ння Нав'є́ — Сто́кса, названі на честь Клода-Луї Нав'є та Габріеля Стокса, описують течію в'язкої рідини або газу. Ці рівняння виникають при застосуванні Другого закону Ньютона до руху рідини,

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=-\nabla p+\eta \Delta \mathbf {v} +\left(\zeta +{\frac {\eta }{3}}\right)\nabla {\text{div}}\,\mathbf {v}$.

Тут $\mathbf {v}$ — поле швидкості рідини, ρ — густина, p — тиск, η — коефіцієнт динамічної в'язкості, ζ — друга в'язкість, $\nabla$ — оператор набла, $\Delta$ — оператор Лапласа.

У випадках, коли в'язкість є функцією тиску й температури рівняння Нав'є-Стокса записується

$\rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left[\eta \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ik}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\zeta {\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}\right).$

У рівнянні Нав'є-Стокса 5 невідомих (три компоненти швидкості, густина й тиск), а тому його слід доповнити рівнянням неперервності й рівнянням, яке виражає закон збереження енергії.

Рівняння неперервності:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\text{div}}\,\rho \mathbf {v} =0.$

Лінеаризовані рівняння Нав'є — Стокса називаються рівняннями Стокса і описують потік Стокса.

Див. також

• Рівняння Бюргерса
• Виведення рівняння Нав'є — Стокса
• RANS

Посилання

• По дорозі до Нав'є — Стокса

Джерела

• Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)