Сигма-адитивність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Сигма-адитивність або зліченна адитивність функції (часто міри) означеної на підмножинах заданої множини — це абстракція того, як інтуїтивні властивості розміру множини (довжина, площа, об'єм) сумуються коли розглядаємо багато об'єктів. Адитивність (або скінченна адитивність) — слабша умова ніж сигма-адитивність, тобто, сигма-адитивність тягне за собою адитивність.

Адитивність (або скінченна адитивність) функції на множині

[ред. | ред. код]

Нехай — функція, означена на алгебрі множин зі значеннями у [−∞, +∞] (див. розширена дійсна пряма). Функція називається адитивною (або скінченно-адитивною), якщо для неперетинних множин A і B з маємо

(Як наслідок цього адитивна функція не може набувати ані −∞, ані +∞ як значень, бо вираз ∞ − ∞ невизначений.)°

Використовуючи математичну індукцію можна довести, що адитивна функція задовольняє

для будь-яких множин з , які не перетинаються.

σ-адитивна функція на множині

[ред. | ред. код]

Припустимо, що це σ-алгебра. Якщо для будь-якої послідовності попарно неперетинних множин з , виконується

,

кажуть, що μ — зліченно-адитивна (або σ-адитивна).
Будь-як σ-адитивна функція також адитивна, але не навпаки.

Приклади

[ред. | ред. код]

Прикладом σ-адитивної функції може бути функція μ означена на булеані дійсних чисел, так що

Якщо це послідовність неперетинних множин дійсних чисел, тоді або жодна з них не містить 0, або лише одна. У будь-якому разі, рівність

дотримується.

Адитивна функція, яка не σ-адитивна

[ред. | ред. код]

Приклад адитивної функції, яка не σ-адитивна, можна отримати розглянувши μ, означену на множинах дійсних чисел заданих такою формулою

де λ позначає міру Лебега і lim це банахова границя.

Адитивність цієї функції можна перевірити скориставшись лінійністю границі. Те, що ця функція не σ-адитивна випливає з такої послідовності неперетинних множин

для n=0, 1, 2, ... Об'єднання цих множин — це додатні дійсні числа, і μ цього об'єднання — одиниця, тоді як μ кожної окремої множини, це нуль, отже, і сума μ(An) також нуль, що дає контрприклад.

Джерела

[ред. | ред. код]