Опукла функція

Опукла функція однієї змінної

Опукла функція, або опукла вниз функція — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leqslant \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y),\quad \forall \lambda \in [0;1].$

Нехай область визначення опуклої функції $f(x)$ лежить в скінченновимірному просторі, тоді $f(x)$ неперервна в будь-якій внутрішній точці цієї області.

Властивості опуклих функцій

Нехай $x_{1},\ldots ,x_{n}$ — будь-які точки із області визначення опуклої функції $f(x)$, $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють $1$. Тоді

$f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}f(x_{i})$.

Якщо $f(x)$ — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних не від'ємно визначена.

Сильно опукла функція

Поняття сильно опуклої функції розширює та параметризує поняття строгої опуклості. Сильно опукла функція також є строго опуклою, але не навпаки.

Диференційовна функція f називається сильно опуклою з параметром m > 0 якщо для всіх точок x, y в її домені зберігається наступна нерівність:

$(\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y)\geq m\|x-y\|_{2}^{2}$

або більш загально,

$\langle \nabla f(x)-\nabla f(y),(x-y)\rangle \geq m\|x-y\|^{2}$

де $\|\cdot \|$ будь-яка норма.

Операції, що зберігають опуклість

• Якщо f і g є опуклими функціями, тоді $m(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ і $h(x)=f(x)+g(x)$ також опуклі.
• Якщо f і g є опуклими функціями і g є неспадною, тоді $h(x)=g(f(x))$ є опуклою. Наприклад, якщо f(x) є опуклою, тоді $e^{f(x)}$, також опукла, тому що $e^{x}$ є опуклою і монотонно висхідною.
• Якщо f є угнутою і g є опуклою і невисхідною, тоді $h(x)=g(f(x))$ є опуклою.
• Опуклість незмінна при застосування афінного відображення: тобто, якщо f є опуклою із областю визначення $D_{f}\subseteq \mathbf {R} ^{m}$, тоді $g(x)=f(Ax+b)$ також опукла, де $A\in \mathbf {R} ^{m\times n},b\in \mathbf {R} ^{m}$ з областю визначення $D_{g}\subseteq \mathbf {R} ^{n}$.
• Якщо f(x, y) є опуклою по x тоді $g(x)=\sup _{y\in C}f(x,y)$ є опуклою по x, якщо $g(x)>-\infty$ для якогось x, навіть якщо C не є опуклою множиною.
• Якщо f(x) є опуклою, тоді її перспектива $g(x,t)=tf(x/t)$ (чия область визначення — $\left\lbrace (x,t)|{\tfrac {x}{t}}\in {\text{Dom}}(f),t>0\right\rbrace$) є опуклою.
• Протилежна до опуклої функції функція є угнутою.
• Якщо $f(x)$ є опуклою дійснозначимою функцією, тоді $f(x)=\sup _{n}(a_{n}x+b_{n})$ для зліченного набору дійсних чисел $(a_{n},b_{n}).$

Див. також

• Увігнута функція
• Точка перегину
• Опукла множина
• Задача опуклого програмування
• Квазіопукла функція
• Субдиференціал
• Опуклий аналіз

Джерела інформації

• Енциклопедія кібернетики, Пшеничний Б. М., т. 1, ст. 198.

Посилання

• Опуклість та вгнутість функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 317. — 594 с.