Символічний степінь простого ідеала

В алгебрі, для кільця R і простого ідеала ${\mathfrak {p}}$ , символічним степенем порядку n ідеала ${\mathfrak {p}}$ називається ідеал

{\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R=\{f\in R\mid \exists s\in R\setminus {\mathfrak {p}},\quad sf\in {\mathfrak {p}}^{n}\}.

Висловлюючись термінологією алгебричної геометрії символічний степінь складається з функцій з нулями порядку n на многовиді визначеному ${\mathfrak {p}}$ .

Властивості

Виконуються рівності: ${\mathfrak {p}}^{(1)}={\mathfrak {p}}$ і якщо ${\mathfrak {p}}$ є максимальним ідеалом, то ${\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{n}$ .
Символічний степінь є найменшим ${\mathfrak {p}}$ -примарним ідеалом, що містить ідеал ${\mathfrak {p}}^{n}$ .
Якщо кільце R є нетеровим, тоді символічний степінь є ${\mathfrak {p}}$ -примарною компонентою в примарному розкладі ідеала ${\mathfrak {p}}^{n}$ .
Якщо кільце R є нетеровим і для деякого простого ідеала ${\mathfrak {p}}$ виконується рівність ${\mathfrak {p}}^{(k)}={\mathfrak {p}}^{(k+1)},$ то ідеал ${\mathfrak {p}}$ є мінімальним простим ідеалом, тобто мінімальним елементом у множині простих елементів впорядкованій щодо включення.

Справді

{\mathfrak {p}}^{(k)}={\mathfrak {p}}^{(k+1)},

тоді і тільки тоді коли

{\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{k+1}R_{\mathfrak {p}}.

Оскільки

{\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}

є модулем над кільцем

R_{\mathfrak {p}}

і

{\mathfrak {p}}^{k+1}R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}

то ми отримуємо

{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}

і з леми Накаями випливає, що

{\mathfrak {p}}^{k}R_{\mathfrak {p}}=\{0\}.

З останньої рівності, зокрема, випливає що всі елементи простого ідеала

{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}

є нільпотентними, тобто містяться в нільрадикалі кільця. Оскільки навпаки кожен простий ідеал містить нільрадикал, то

{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}={\sqrt {0}}

і тому

{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}

є мінімальним простим ідеалом у кільці

R_{\mathfrak {p}}

і, як наслідок,

{\mathfrak {p}}

є мінімальним простим ідеалом у кільці R.

Якщо ${\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {q}}$ є простими ідеалами регулярного кільця R, то також ${\mathfrak {p}}^{(n)}\subseteq {\mathfrak {q}}^{(n)}.$

Приклад

Нехай кільце $A:=\mathbb {C} [x,y,z]/(xy-z^{2})$ і ${\bar {f}}$ надалі позначатиме клас многочлена f у фактор кільці A.

Нехай ${\mathfrak {p}}:=({\bar {x}},{\bar {z}})$ (тобто ідеал породжений двома вказаними елементами). Даний ідеал є простим у кільці A. Неважко переконатися, що ${\bar {x}}\not \in {\mathfrak {p}}^{2}$ але натомість ${\bar {x}}\in {\mathfrak {p}}^{(2)}$ (дійсно ${\bar {y}}\in A\setminus {\mathfrak {p}}$ і ${\bar {x}}{\bar {y}}={\bar {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}$ ). Натомість ${\bar {z}}\not \in {\mathfrak {p}}^{(2)}$ і тому для даного кільця є послідовність строгих включень ідеалів ${\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {p}}^{(2)}\supset {\mathfrak {p}}^{2}.$