Стискальне відображення

Стискальним відображенням у метричному просторі називається відображення яке, умовно кажучи, зменшує відстані між точками.

Нехай $F\subset \mathbb {M}$ — підмножина метричного простору $(\mathbb {M} ,\rho )$ і на F визначено відображення $f:F\to F$. Воно називається стискуючим на F, якщо $\exists \alpha \in (0;1):$ для ${\forall }x,y\in F\to {\rho (Ax,Ay)\leqslant \alpha {\cdot }\rho (x,y)}$.

Довільне стискуюче відображення є відображенням Ліпшиця і, як наслідок, рівномірно неперервним відображенням.

Довільне стискальне відображення має щонайбільше одну нерухому точку, тобто точку $\mathbb {} x^{*}:f(x^{*})=x^{*}$. Це включає випадки неіснування нерухомих точок. Згідно з теоремою Банаха якщо дане відображення задано на замкнутій підмножині повного метричного простору то існує єдина нерухома точка, причому ітераційна послідовність x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... збігається до цієї точки в метриці цього простору.

Див. також

• Коротке відображення

Джерела

• М. І. Жалдак, Г. О. Михалін, С. Я. Деканов. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — Київ, НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. - 430 с.