Структурна теорема Коена

В комутативній алгебрі структурна теорема Коена описує будову повних нетерових локальних кілець. Теорему довів у 1946 році американський математик Ірвінг Коен.

Означення

Нехай R — комутативне локальне кільце Нетер, ${\mathfrak {m}}$ — його максимальний ідеал, а $k=R/{\mathfrak {m}}$ — відповідне поле лишків.

Кільце R називається еквіхарактеристичним, якщо $\operatorname {char} R=\operatorname {char} k,$ тобто кільце і поле лишків мають однакову характеристику. Кільце R є еквіхарактеристичним тоді і тільки тоді коли воно містить деяке підполе (у цьому випадку зі структурної теореми Коена випливає, що воно зокрема містить підполе ізоморфне полю лишків).

Кільце для якого ці характеристики не є однаковими має характеристику 0 або $p^{n},\ n>1$, а його поле лишків — характеристику p, де p — просте число і до того ж $p\in {\mathfrak {m}}\$ (у цьому випадку p є сумою одиничних елементів кільця). Якщо $p\in {\mathfrak {m}}^{2}$ то кільце називається розщепленим, а якщо $p\in {\mathfrak {m}}\setminus {\mathfrak {m}}^{2}$ — нерозщепленим.

Кільцем коефіцієнтів для кільця R із вказаними властивостями називається підкільце $S\subset R\$ для якого виконуються умови:

• ${\mathfrak {m}}\cap S=pS,\$ де $p=\operatorname {char} k$
• S є повним локальним кільцем і $S/(pS)\cong k.$

У випадку еквіхарактеристичного кільця p = 0 у кільці R і відповідно S і ${\mathfrak {m}}\cap S=\{0\},\$ тобто S є полем.

У іншому випадку, якщо R має характеристику 0 то S є повною нетеровою областю цілісності, максимальний ідеал якої є головним породженим p. Повне локальне кільце характеристики 0 для якого поле лишків має характеристику p і максимальний ідеал породжується p називається кільцем Коена.

Якщо R має характеристику $p^{n},\ n>1$ то S є локальним артиновим кільцем максимальний ідеал якого є породженим елементом p. Також $S=A/(p^{n})$ для деякого кільця Коена.

Твердження теореми

• Для повного комутативного локального кільця Нетер R завжди існує кільце коефіцієнтів (яке буде полем ізоморфним полю лишків, якщо R є еквіхарактеристичним)
• Повне комутативне локальне кільце Нетер R є факторкільцем повного регулярного локального кільця.
• Еквіхарактеристичне регулярне локальне кільце R розмірності d є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів $k[[x_{1},\ldots ,x_{n}]].$
• Регулярне локальне кільце R розмірності d, що не є еквіхарактеристичним і є нерозщепленим є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів над кільцем Коена $S[[x_{1},\ldots ,x_{n}]],$ де S — кільце коефіцієнтів R.
• Регулярне локальне кільце R розмірності d, що не є еквіхарактеристичним і є розщепленим є ізоморфним факторкільцю кільця многочленів виду $A[[X]]/(f(X)),$ де A — еквіхарактеристичне і є нерозщеплене регулярне локальне кільце кільце коефіцієнтів якого є рівним кільцю коефіцієнтів R (тобто можна вважати $A=S[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$), а f(X) — многочлен Ейзенштейна, тобто $f(X)=X^{r}+c_{1}X^{r-1}+\ldots +c_{r}$ і всі $c_{i}\in {\mathfrak {m}}$ і також $c_{r}\not \in {\mathfrak {m}}^{2}.$

Див. також

• Локальне кільце
• Поповнення (комутативна алгебра)
• Регулярне локальне кільце

Література

• * Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (вид. 2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 0879273