Композиція функцій

Композиція функцій g o f.

Компози́ція (суперпозиція) фу́нкцій (відображень) в математиці — функція, побудована з двох функцій так, що значення першої функції є аргументом другої.

Композиція функцій $f$: $X\to Y$ та $g$: $Y\to Z$ будується так: аргумент $x$ з $X$ застосовується до першої функції $f$, а її значення $y$ з $Y$ застосовується як аргумент до другої функції g.

Приклади

• Наприклад, нехай функція висоти польоту літака від часу $t$ задається як $h(t)$, і концентрація кисню на висоті $z$ задається функцією $c(z)$. Тоді $(c\circ h)(t)$ визначає концентрацію кисню біля літака в момент часу $t$.

• Нехай $f(x)=x^{2}$ і $g(y)=\sin(y)$, тоді $(g\circ f)(x)=\sin(x^{2})$.

Така композиція позначається в математиці як $g\circ f$: X → Z або $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

Композиція $(f\circ g)=(\sin x)^{2}$. Отже, взагалі $(f\circ g)\neq (g\circ f)$, тому операція композиції не є комутативною.

Властивості

Композиція функцій g o f

Композиція функцій є асоціативною, тобто, $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

Композиція функцій називається комутативною, якщо $f\circ g=g\circ f$

Якщо $Y\subset X$, то можна ввести поняття власної композиції функції $f$, тобто:

• $(f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)$
• $(f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)$
• $f\circ f^{n}=f^{n}\circ f=f^{n+1}$

Функція $f^{n}$ також називається степенем функції $f$.

Див. також

• Тотожне відображення
• Обернена функція
• Ітерація функції
• Похідна композиції функцій

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)