Сферичний надлишок

Сферичний трикутник

Сфери́чний на́длишок або ексце́с сфери́чного трику́тника — величина в сферичній тригонометрії, яка показує, наскільки сума кутів сферичного трикутника перевищує розгорнутий кут.

Визначення

Позначимо A, B, C радіанні міри кутів сферичного трикутника. Тоді сферичний надлишок

$\varepsilon =A+B+C-\pi$

Властивості та обчислення

• Оскільки в будь-якому сферичному трикутнику, на відміну від трикутника на площині, сума кутів завжди більша від π, то надлишок завжди додатний. Зверху він обмежений числом 2π, тобто завжди менший від цього числа^:15.
• Для обчислення надлишку сферичного трикутника зі сторонами a, b, c використовується формула Люїльє^:94:

$\operatorname {tg} {\frac {\varepsilon }{4}}={\sqrt {\operatorname {tg} {\frac {p}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-a}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-b}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-c}{2}}}},p={\frac {a+b+c}{2}}$

• Для обчислення надлишку сферичного трикутника за сторонами a, b і кутом C між ними використовується формула^:95:

$\operatorname {ctg} {\frac {\varepsilon }{2}}={\frac {\operatorname {ctg} {\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {b}{2}}+\cos C}{\sin C}}$

Застосування

• Надлишок сферичного трикутника застосовується пвд час обчислення його площі, оскільки $S=R^{2}\varepsilon$ (тут $R$ — радіус сфери, на якій лежить сферичний трикутник, а надлишок виражено в радіанах)^:99.
• Тілесний кут тригранного кута виражається за теоремою Люїльє через його плоскі кути $\theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}$ при вершині, як:

$\Omega =4\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}$, де $\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}$ — півпериметр.

Через двогранні кути $\alpha ,\beta ,\gamma$ тілесний кут виражається, як:

$\Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi$

Посилання

• Сферический избыток // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / главн. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.) 
• Сферичний надлишок [Архівовано 4 березня 2021 у Wayback Machine.] на сайті MathWorld