Тригранний кут

Тригранний кут

Тригранний кут — це частина простору, обмежена трьома плоскими кутами зі спільною вершиною і попарно загальними сторонами, що не лежать в одній площині. Спільна вершина цих кутів називається вершиною тригранного кута. Сторони кутів називаються ребрами, плоскі кути при вершині тригранного кута називаються його гранями. Кожна з трьох пар граней тригранного кута утворює двогранний кут. Якщо розташувати вершину тригранного кута в центрі сфери одиничного радіуса, на її поверхні утворюється обмежений ним сферичний трикутник, сторони якого рівні плоским кутах тригранного кута, а кути — його двогранним кутам.

Нерівність трикутника для тригранного кута

Кожен плоский кут тригранного кута менше суми двох інших його плоских кутів.

Сума плоских кутів тригранного кута

Сума плоских кутів тригранного кута менша від 360 градусів.

Доведення.

Нехай OABC — даний тригранний кут. Розглянемо тригранний кут з вершиною A, утворений гранями ABO, ACO і кутом BAC. Напишемо нерівність:

$\angle BAC<\angle BAO+\angle CAO$

Аналогічно, і для решти тригранних кутів з вершинами B і С:

$\angle ABC<\angle ABO+\angle CBO$

$\angle ACB<\angle ACO+\angle BCO$

Складаючи ці нерівності і враховуючи, що сума кутів трикутника ABC дорівнює 180°, отримуємо

$180<\angle BAO+\angle CAO+\angle ABO+\angle CBO+\angle BCO+\angle ACO=180-\angle AOB+180-\angle BOC+180-\angle AOC$

Отже: $\angle AOB+\angle BOC+\angle AOC<360$

Теорема косинусів для тригранного кута

Перша теорема косинусів для тригранного кута cos α = cos βcos γ + sin βsin γcos A

$\cos {\alpha }=\cos {\beta }\cos {\gamma }+\sin {\beta }\sin {\gamma }\cos {A}$

Друга теорема косинусів для тригранного кута

$\cos {A}=-\cos {B}\cos {C}+\sin {B}\sin {C}\cos {\alpha },$

де α, β, γ — плоскі кути, A, B, C — двогранні кути, складені площинами кутів β і γ, α і γ, α і β.

Доведення другої теореми косинусів для тригранного кута. Нехай OABC — даний тригранний кут. Опустимо перпендикуляри з внутрішньої точки тригранного кута на його грані й отримаємо новий тригранний кут полярний (подвійний даному). Плоскі кути одного тригранного кута доповнюють двогранні кути іншого і двогранні кути одного кута доповнюють плоскі іншого до 180 градусів. Тобто плоскі кути полярного кута відповідно рівні: 180 — А; 180 — В; 180 — С, а двогранні — 180 — α; 180 — β; 180 — γ. Напишемо першу теорію косинусів для нього

$\cos({\pi -A})=\cos({\pi -\alpha })\sin({\pi -B})\sin({\pi -C})+\cos({\pi -B})\cos({\pi -C)}$

і після спрощень отримуємо:

$\cos {A}=\cos {\alpha }\sin {B}\sin {C}-\cos {B}\cos {C}$

Теорема синусів для тригранного кута

${\sin {\alpha } \over \sin A}={\sin \beta \over \sin B}={\sin \gamma \over \sin C}$, де α, β, γ — плоскі кути тригранного кута; A, B, C — протилежні їм двогранні кути.

Див. також

• Тілесний кут