Тензор Вейля

Тензор кривини Вейля — частина тензора кривини Рімана з нульовим слідом. Іншими словами, це тензор, що задовольняє всім властивостям симетрії тензора Рімана з додатковою умовою, що побудований за ним тензор Річчі дорівнює нулю.

Названий на честь Германа Вейля.

Означення

Тензор Вейля можна отримати з тензора кривини, якщо відняти від нього певні комбінації тензора Річчі і скалярної кривини. Формула для тензора Вейля найлегше записується через тензор Рімана в формі тензора валентності (0,4):

$W=R-{\frac {1}{n-2}}\left(Ric-{\frac {s}{n}}g\right)\circ g-{\frac {s}{2n(n-1)}}g\circ g$

де n — розмірність многовида, g — метрика, R — тензор Рімана, Ric — тензор Річчі, s — скалярна кривина, а h O k — так званий добуток Кулкарні - Номідзу , добуток двох симетричних тензорів валентності (0,2) є тензор валентності (0,4), що задовольняє симетрії тензора кривини:

$(h\circ k)(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})=$	$h(v_{1},v_{3})k(v_{2},v_{4})+h(v_{2},v_{4})k(v_{1},v_{3})-$
	${}-h(v_{1},v_{4})k(v_{2},v_{3})-h(v_{2},v_{3})k(v_{1},v_{4}).$

У компонентах, тензор Вейля задається виразом:

$W_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{a[c}g_{d]b}$

де $R_{abcd}$ — тензор Рімана, $R_{ab}$ — тензор Річчі, $R$ — скалярна кривина і [] позначає операцію антісімметрізації.

Джерела

• Hawking, Stephen W.; Ellis, George F. R. (1973), The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, ISBN 0-521-09906-4
• Petersen, Peter (2006), Riemannian geometry, Graduate Texts in Mathematics, т. 171 (вид. 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0387292462, MR 2243772.
• Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9.
• Singer, I.M.; Thorpe, J.A. (1969), The curvature of 4-dimensional Einstein spaces, Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira), Univ. Tokyo Press, с. 355—365
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), tensor Weyl tensor, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjørn (2007), Einstein's General Theory of Relativity, New York: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2