Тензор Коттона

У диференціальній геометрії тензор Коттона на (псевдо)-рімановому многовиді розмірності n задається як тензор 3-го рангу, який визначається за допомогою метрики.

Названий на честь Еміля Коттона.

Означення

Тензор Коттона можна записати в координатах наступним чином

$C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\tfrac {1}{2(n-1)}}\cdot \left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right),$

де $R_{ij}$ — тензор Річчі та $R$ — скалярна кривина

Про Тензор Коттона можна думати як про векторно-значну 2-форму.

Властивості

Рівність нуля тензора Коттона для розмірності $n=3$ є необхідною і достатньою умовою того, що многовид є конформно евклідовим.

У розмірностях $n\geq 4$ аналогічну властивість має тензор Вейля.

Джерела

• Cotton, É. Sur les variétés à trois dimensions : [арх. 10 жовтня 2007] // Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. — 1899.
• A. Garcia, F.W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias. The Cotton tensor in Riemannian spacetimes // Classical and Quantum Gravity. — 2004. — № 21. — P. 1099–1118. — arXiv:gr-qc/0309008.