Теорема Кейсі

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

Теорема Кейсі — теорема в геометрії Евкліда, що узагальнює нерівність Птолемея. Названа за іменем ірландського математика Джона Кейсі.

Формулювання

Нехай $O$ — коло радіуса $R$. Нехай $O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ — (в зазначеному порядку) чотири кола, що не перетинаються, які лежать всередині $O$ і дотичні до нього. Позначимо через $t_{ij}$ довжину відрізка між точками дотику зовнішньої спільної дотичної кіл $O_{i},O_{j}$. Тоді:

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

У виродженому випадку, коли всі чотири кола зводяться до точок (кіл радіуса 0), виходить точно теорема Птолемея.

Зауваження

Теорема Кейсі справедлива також у більш загальних випадках:

1. Чотири кола можуть мати не тільки внутрішній (як розібрано вище), а і зовнішній дотик до спільного кола;
2. шість попарних дотичних до цих чотирьох кіл також можуть бути як зовнішніми, так і внутрішніми (як показано на рисунку нижче).

Теорема Кейсі

При цьому виконується звичайна формула теореми Кейсі:

$t_{\alpha \beta }t_{\gamma \delta }+t_{\beta \gamma }t_{\delta \alpha }=t_{\alpha \gamma }t_{\beta \delta }$.

• У виродженому випадку, коли три з чотирьох кіл зводяться до точок (кіл радіуса 0), і одна сторона чотирикутника вироджується в точку, а три сторони чотирикутника, що залишилися утворюють рівносторонній трикутник, виходить точно узагальнена теорема Помпею.
• У виродженому випадку, коли всі чотири кола зводяться до точок (кіл радіуса 0), в останньому випадку також виходить теорема Птолемея.

Джерела

• John Casey. On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane // Proceedings of the Royal Irish Academy. — 1866. — № 9. — С. 396—423.
• M. Zacharias. Der Caseysche Satz // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1942. — Т. 52. — С. 79—89.
• O. Bottema. Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. — of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987. — Springer 2008 (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry), 1944.
• Roger A. Johnson. Modern Geometry. — Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry), 1929.