Теорема Келі (теорія груп)

Теорема Келі — результат теорії груп, що стверджує, що будь-яка група $(G,\cdot )$ є ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів $G$. Теорема названа на честь англійського математика Артура Келі.

Твердження теореми

Нехай $(G,\cdot )$  — деяка група (скінченна чи нескінченна) і позначимо $Sym(G)$ її групу перестановок. Тоді твердження теореми можна записати у вигляді

$\exists _{H\subseteq Sym(G)}:G\approx H$. Де позначення $G\approx H$ означає ізоморфність групG і H.

Доведення

Визначимо функцію $\varphi _{g}$ так: $\forall _{g\in G}:\varphi _{g}:G\rightarrow G:x\mapsto gx.$ Очевидно, що дане відображення є перестановкою (оберненим відображенням є $\varphi _{g}:G\rightarrow G:x\mapsto g^{-1}x.$) тож $H=\left\{\varphi _{g}|g\in G\right\}\subset Sym(G)$.

Визначимо тепер відображення:$T:G\rightarrow H:g\mapsto \varphi _{g}$. Зважаючи, що різним $g\in G$ відповідають різні функції $\varphi _{g}$ маємо $|H|=|G|$ і відображення T є бієктивним. Залишається лиш довести, що T є гомоморфізмом. Це випливає з наступних рівностей:

$\forall _{x\in G}\forall _{g,g'\in G}:T(gg')(x)=\varphi _{gg'}(x)=x\mapsto gg'x=(x\mapsto gx)\circ (x\mapsto g'x)$$=\,\varphi _{g}\circ \varphi _{g'}(x)=\left(T(g)\circ T(g')\right)(x)$

Остаточно з того, що T є бієктивним відображенням і гомоморфізмом одержуємо $G\approx H$

Джерела

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)