Гомоморфізм груп

Гомоморфі́зм груп — відображення $\phi$ групи $(G,*)$ в групу $(H,\cdot )$ , що зберігає групову операцію, тобто:

\phi \colon G\rightarrow H:\quad \phi (x*y)=\phi (x)\cdot \phi (y)\quad \forall {\mathit {x,y}}\in G

.

Гомоморфізм зберігає всі відношення, основані на заданій операції, тобто, одиниця групи $(G,*)$ переходить в одиницю групи $(H,\cdot )$ ; обернені елементи переходять в обернені^[1].

Тоді:

Ядро гомоморфізму — підмножина всіх елементів $(G,*)$ , що відображаються в одиницю групи $(H,\cdot )$ :

ker\,\phi =\{x\in G\colon \phi (x)=e_{H}\}

.

Образ гомоморфізму — підмножина всіх елементів $H$ , що є образами елементів $G$ :

im\,\phi =\phi (G)

.

Властивості

На відміну від ізоморфізму груп, гомоморфізм не обов'язково має бути взаємно-однозначним відображеням.

Приклад гомоморфізму: зіставлення невиродженої матриці та її детермінанту:

\phi (A)=\operatorname {det} (A),\quad A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )

,

що є відображенням групи $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ невироджених лінійних перетворень простору $\mathbb {R} ^{n}$ на мультиплікативну групу дійсних чисел $\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \setminus \{0\}$ .