Теорема Ландау

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У комплексному аналізі теорема Ландау — один із класичних результатів так званої геометричної теорії функцій комплексної змінної, яка пов'язана з теоремами Блоха, Блоха — Ландау, Шотткі і може використовуватися зокрема для доведення малої теореми Пікара — одного з найвідоміших тверджень комплексного аналізу.

Твердження теореми

[ред. | ред. код]

Якщо є голоморфною функцією всередині круга , що не є рівною в цьому крузі 0 і 1 і , то має місце нерівність ), де залежить тільки від і і не залежить від самої функції.

Доведення

[ред. | ред. код]

Розглянемо спершу функцію , голоморфну всередині круга , що не є рівною 0 і 1 в цьому крузі. Побудуємо допоміжну функцію

Ця функція буде голоморфною всередині круга , оскільки функція в цьому крузі не дорівнює нулю і не дорівнює одиниці. Крім того, функція не є рівною числам виду , де натуральне число, — будь-яке ціле число. Позначимо множину цих точок .

Справді, розв'язуючи рівняння для щодо , знайдемо:

і, отже, вважаючи рівним будь-якому значенню з множини , мали б , що неможливо.

Кожна точка комплексної площини знаходиться від множини (тобто від найближчої точки цієї множини) на відстані, меншій , де — деяка константа, що безпосередньо випливає з рівностей

і

.

Припускаючи , розглянемо функцію:

.

Згідно теореми Блоха для цієї функції існує круг з центром в деякій точці деякого радіуса , що не залежить від конкретної функції і всі точки якого є значеннями цієї функції. Отже, для функції буде існувати круг з центром у деякій точці радіуса , всі точки якого є значеннями функції . Оскільки цей круг не може містити точок множини , то повинна виконуватись нерівність

Зрозуміло, що якщо , то це нерівність теж є справедливою.

Отже, маємо:

де — константа, яка не залежить від функції . Повертаючись до даної функції , з виразу цієї функції через і попередньої нерівності отримаємо:

,

де — деяка функція, що не залежить від функції .

Тепер для функції в умовах теореми введемо функцію . Функцію є голоморфною при і не рівною в цьому крузі 0 і 1. Застосовуючи до цієї функції останню доведену нерівність, отримуємо: або, повертаючись до даної функції , або звідки випливає: де .

Теорема Ландау — Каратеодорі

[ред. | ред. код]

В твердженні точно можна задати значення функції . А саме в позначеннях теореми Ландау:

,

де є гілкою оберненої функції до функції модулярної ламбда функції, що за означенням є модулярною функцією групи дробово-лінійних перетворень , де є непарними цілими числами, а парними.

Через тета функції модулярну ламбда функцію можна записати як , через еліптичні функції Веєрштраса

Фундаментальною областю є регіон .

У області також додаються граничні точки для яких .

За гілку оберненої функції в теоремі Ландау — Каратеодорі можна приймати ту гілку для якої значення функції належить фундаментальній області .

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
  • Hille E. (2002), Analytic function theory, т. Volume 2 (вид. 2ed., AMS), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0821833448 {{citation}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= (довідка)