У комплексному аналізі теорема Ландау — один із класичних результатів так званої геометричної теорії функцій комплексної змінної, яка пов'язана з теоремами Блоха, Блоха — Ландау, Шотткі і може використовуватися зокрема для доведення малої теореми Пікара — одного з найвідоміших тверджень комплексного аналізу.
Якщо
є голоморфною функцією всередині круга
, що не є рівною в цьому крузі 0 і 1 і
, то має місце нерівність
),
де
залежить тільки від
і
і не залежить від самої функції.
Розглянемо спершу функцію
, голоморфну всередині круга
, що не є рівною 0 і 1 в цьому крузі. Побудуємо допоміжну функцію
![{\displaystyle F(z)=\ln \left({\sqrt {{\frac {\ln f(z)}{2\pi i}}-{\frac {\ln f(z)}{2\pi }}-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df5bfbaac2f7c2941e13fcac57f96bfd10c96dc)
Ця функція
буде голоморфною всередині круга
, оскільки функція
в цьому крузі не дорівнює нулю і не дорівнює одиниці. Крім того, функція
не є рівною числам виду
, де
— натуральне число,
— будь-яке ціле число. Позначимо множину цих точок
.
Справді, розв'язуючи рівняння для
щодо
, знайдемо:
![{\displaystyle f(z)=-e^{{\frac {\pi i}{2}}(e^{2F(z)}+e^{-2F(z)})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bd2017281388c27b13f3cd812dbc49a6c9bd3c)
і, отже, вважаючи
рівним будь-якому значенню з множини
, мали б
, що неможливо.
Кожна точка комплексної площини знаходиться від множини
(тобто від найближчої точки цієї множини) на відстані, меншій
, де
— деяка константа,
що безпосередньо випливає з рівностей
![{\displaystyle -\ln({\sqrt {n}}-{\sqrt {n-1}})={\frac {1}{\ln({\sqrt {n}}-{\sqrt {n-1}})}}=\ln({\sqrt {n}}+{\sqrt {n-1}})\to \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd18d2424bcc5ee2294a3b31be82dfcb9459822)
і
.
Припускаючи
, розглянемо функцію:
.
Згідно теореми Блоха для цієї функції існує круг з центром в деякій точці деякого радіуса
, що не залежить від конкретної функції і всі точки якого є значеннями цієї функції. Отже, для функції
буде існувати круг з центром у деякій точці радіуса
, всі точки якого є значеннями функції
. Оскільки цей круг не може містити точок множини
, то повинна виконуватись нерівність
![{\displaystyle B_{1}|F'(0)|<b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04fcc47580c1ca942ca8f437858ce839e8bae13b)
Зрозуміло, що якщо
, то це нерівність теж є справедливою.
Отже, маємо:
![{\displaystyle |F'(0)|<b<{\frac {b}{B_{1}}}=C_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5764e05f841825e8331a0b04d6e7ddc6a436294e)
де
— константа, яка не залежить від функції
. Повертаючись до даної функції
, з виразу цієї функції через
і попередньої нерівності отримаємо:
,
де
— деяка функція, що не залежить від функції
.
Тепер для функції в умовах теореми введемо функцію
. Функцію
є голоморфною при
і не рівною в цьому крузі 0 і 1. Застосовуючи до цієї функції
останню доведену нерівність, отримуємо:
або, повертаючись до даної функції
,
або
звідки випливає:
де
.
В твердженні точно можна задати значення функції
. А саме в позначеннях теореми Ландау:
,
де
є гілкою оберненої функції до функції
— модулярної ламбда функції, що за означенням є модулярною функцією групи дробово-лінійних перетворень
, де
є непарними цілими числами, а
— парними.
Через тета функції модулярну ламбда функцію можна записати як
, через еліптичні функції Веєрштраса —
Фундаментальною областю є регіон
.
У області
також додаються граничні точки для яких
.
За гілку оберненої функції в теоремі Ландау — Каратеодорі можна приймати ту гілку для якої значення функції належить фундаментальній області
.
- Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
- Hille E. (2002), Analytic function theory, т. Volume 2 (вид. 2ed., AMS), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0821833448