Теорема Лапласа

Теоре́ма Лапла́са (розклад Лапласа) — одна з теорем в теорії матриць. Названа на честь французького математика П'єра-Симона Лапласа, якому приписують доведення цієї теореми в 1772 році, хоча окремий випадок цієї теореми про розкладання визначника по рядку (стовпцю) був відомий ще Лейбніцу.

Теорема

Нехай $\ A=(a_{ij})$ — квадратна матриця розміру $\ n\times n,$ в якій вибрано довільні $\ k$ рядків.

Тоді визначник матриці $\ A$ рівний сумі всіляких добутків мінорів $\ k$ -го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

\det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},

де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців

\ j_{1},\ldots ,j_{k}.

Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати $k$ стовпців з $n$ , тобто біноміальному коефіцієнту $\textstyle {n \choose k}$ .

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

Дана теорема має наступні застосування.

Розклад визначника по рядку (стовпцю)

Широко відомий окремий випадок теореми Лапласа — розкладання визначника по рядку або стовпцю. Він дозволяє представити визначник квадратної матриці у вигляді суми добутків елементів будь-якого її рядка або стовпця на їх алгебраїчне доповнення.

Нехай $A=(a_{ij})$ — квадратна матриця розміру $n\times n$ . Нехай також заданий деякий номер її рядка $\ i$ або номер її стовпця $\ j.$ При $\ k=1$ мінорами будуть самі елементи цього рядка чи стовпця.

Визначник $\ A$ може бути обчислений за формулами:

Розклад по $i$ -му рядку:

\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}

Розклад по $j$ -му стовпцю:

\det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}

де $\ A_{ij}$ — алгебраїчне доповнення до елемента, розташованого в рядку з номером $\ i$ та стовпці з номером $\ j$ .

Фальшивий розклад

Сума добутків усіх елементів деякого рядка (стовпця) матриці А на алгебраїчні доповнення відповідних елементів будь-якого іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.