Теорема Ліувілля (комплексний аналіз)

У комплексному аналізі теорема Ліувілля стверджує, що якщо ціла функція $f(z)$ комплексних змінних $z=(z_{1},...,z_{n})$ є обмеженою, тобто

$|f(z)|\leqslant M<\infty$

то $f(z)$ — константа.

Доведення (для випадку $\mathbb {C} ^{1}$)

Нехай $f(z)$ обмежена на комплексній площині, тобто

$\exists M\;\forall z\;|f(z)|\leq M$

Скористаємося інтегральною формулою Коші для похідної $f(z)$

$f^{\prime }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{2}}}d\xi$ Де $C_{R}$ — коло радіуса $R$, що містить точку $z$.

Маємо

$|f^{\prime }(z)|\leq {\frac {1}{2\pi }}M{\frac {1}{R^{2}}}2\pi R={\frac {M}{R}}$

Звідси, зважаючи що інтегральна формула Коші справедлива для довільного контуру, маємо $\lim _{R\to \infty }{\frac {M}{R}}=0$

Тоді $f^{\prime }(z)=0$ і, відповідно, $f(z)$ є константою. Теорема доведена.

Узагальнення

• Якщо $f(z)$ ― ціла функція в $\mathbb {C} ^{n}$ і для деякого $r\in \mathbb {R}$,

$|f(z)|\leqslant C|z|^{r}$

для достатньо великих |z|, то $f(z)$ — многочлен від змінних $(z_{1},\dots ,z_{n})$ степеня не вище $r$.

Доведення для однієї змінної.Визначимо:

$g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)-f(0)}{z}}&z\neq 0\\f'(0)&z=0\end{cases}}$

Оскільки f є цілою функцією, то g теж є цілою, і, зважаючи на обмеження на f, одержуємо

$|g(z)|<c_{1}+c_{2}\cdot |z|^{n-1}<c'\cdot |z|^{n-1}$

для достатньо великих |z|.

Якщо припустити, що g є многочленом степеня не більше n-1, то f є многочленом степеня не більше n. Для завершення доведення достатньо використати звичайну теорему Ліувілля і метод математичної індукції.

• Якщо $u(x)$ ― дійсна гармонічна функція на всьому просторі $\mathbb {R} ^{n}$,

$u(x)<C(1+|x|^{r})$

то $u(x)$ — гармонічний многочлен від цих змінних.

Твердження для гармонічних функцій

Гармонічна функція $u(x,y)\,$ на всій площині не може бути обмеженою зверху або знизу, якщо вона не стала.

Оскільки дійсна і уявна частини цілої комплексної функції є гармонічними функціями, дане твердження є наслідком твердження теореми для цілих функцій. Можна також дати доведення за допомогою інтеграла Пуассона.

Доведення

Нехай гармонічна функція на всій площині $u(x,y)\geq \;A=const$. Тоді функція $v(x,y)=u(x,y)-A\geq \;0$ є також гармонічною на всій площині.
Позначимо через $Q(x,y)\,$ довільну точку площини, $p={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ — відстань від точки $Q(x,y)\,$ до початку координат, і проведемо круг $K\,$ з центром у початку координат такого радіуса $R\,$, щоб точка $Q\,$ була внутрішньою для цього круга (тобто $R>p\,$). В силу гармонічності функції $v(x,y)\,$ зобразимо її в крузі за допомогою інтеграла Пуассона :

$v(Q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }v(R,\psi ){\frac {R^{2}-p^{2}}{R^{2}+p^{2}-2Rpcos(\psi -\phi )}}\,d\psi \,$

тоді отримаємо

${\frac {R-p}{R+p}}v(0,0)\leq \;v(Q)\leq \;{\frac {R+p}{R-p}}v(0,0)\,$

Перейшовши до границі, коли $R\to \;\infty \,$ , матимемо

$v(0,0)\leq \;v(Q)\leq \;v(0,0)\,$ тобто $v(Q)=v(0,0)\,$.

В силу довільності точки $Q\,$ звідси випливає, що

$u(Q)=v(Q)+A=v(0,0)+A\,$ стала на всій площині.

Див. також

• Нерівність Гарнака

Посилання

• Liouville's theorem на PlanetMath

Література

• М.О.Перестюк,В.В.Маринець (2001). Теорія рівнянь математичної фізики. Київ: Либідь.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372