Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Теорема Рауса визначає відношення між площами даного трикутника і трикутника, утвореного трьома попарно перетинними чевіанами . Теорема стверджує, що якщо в трикутнику
A
B
C
{\displaystyle ABC}
D
{\displaystyle D}
E
{\displaystyle E}
F
{\displaystyle F}
B
C
{\displaystyle BC}
C
A
{\displaystyle CA}
A
B
{\displaystyle AB}
C
D
B
D
{\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}}
=
x
{\displaystyle =x}
A
E
C
E
{\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}}
=
y
{\displaystyle =y}
B
F
A
F
{\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}}
=
z
{\displaystyle =z}
орієнтована площа трикутника, утвореного чевіанами
A
D
{\displaystyle AD}
B
E
{\displaystyle BE}
C
F
{\displaystyle CF}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
(
x
y
z
−
1
)
2
(
x
y
+
y
+
1
)
(
y
z
+
z
+
1
)
(
z
x
+
x
+
1
)
{\displaystyle {\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}}
Теорему довів Едвард Раус на 82 сторінці його Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples 1896 року. В окремому випадку,
x
=
y
=
z
=
2
{\displaystyle x=y=z=2}
одну сьому площі трикутника . В разі
x
=
y
=
z
=
1
{\displaystyle x=y=z=1}
медіани перетинаються в центроїді .
Нехай площа трикутника
A
B
C
{\displaystyle ABC}
1
{\displaystyle 1}
A
B
D
{\displaystyle ABD}
F
R
C
{\displaystyle FRC}
теоремою Менелая , отримаємо:
A
F
F
B
×
B
C
C
D
×
D
R
R
A
=
1
{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1}
Тоді
D
R
R
A
=
B
F
F
A
×
D
C
C
B
=
z
x
x
+
1
{\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}}
A
R
C
{\displaystyle ARC}
S
A
R
C
=
A
R
A
D
S
A
D
C
=
A
R
A
D
×
D
C
B
C
S
A
B
C
=
x
z
x
+
x
+
1
{\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}
Аналогічно, отримуємо:
S
B
P
A
=
y
x
y
+
y
+
1
{\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}}
S
C
Q
B
=
z
y
z
+
z
+
1
{\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}}
Таким чином, площа трикутника
P
Q
R
{\displaystyle PQR}
S
P
Q
R
=
S
A
B
C
−
S
A
R
C
−
S
B
P
A
−
S
C
Q
B
{\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}}
=
1
−
x
z
x
+
x
+
1
−
y
x
y
+
y
+
1
−
z
y
z
+
z
+
1
{\displaystyle =1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}}
=
(
x
y
z
−
1
)
2
(
x
z
+
x
+
1
)
(
y
x
+
y
+
1
)
(
z
y
+
z
+
1
)
.
{\displaystyle ={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.}
Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh's theorem», Crux Mathematicorum 7: 199—203.HSM Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219—220, 2nd edition, Wiley, New York.JS Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh's theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21: 37-40Jay Warendorff. Routh 's Theorem [Архівовано 6 серпня 2019 у Wayback Machine .] The Wolfram Demonstrations Project .Weisstein, Eric W. Routh's Theorem (англ.) на сайті Wolfram MathWorld .Routh's Theorem by Cross Products — MathPagesAyoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh's theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.
