Теорема Рауха про порівняння — фундаментальний результат ріманової геометрії, доведений
американським математиком Гаррі Раухом[1].
Теорема стверджує, що в просторах з більшою секційною кривиною геодезичні лінії сходяться швидше.
Нехай
і
є рімановими многовидами із рімановими метриками
і
,
і
є геодезичними із одиничною швидкістю і
— нормальні ненульові поля Якобі вздовж
і
. Нехай також додатково виконуються умови:
і
не мають спряжених точок вздовж
і
на інтервалі
.
.
- Вектори
і
мають однакову довжину у відповідних ріманових метриках (оскільки поля Якобі є ненульовими, то ця довжина є більшою 0).
- Секційні кривини многовидів
і
у відповідних точках геодезичних ліній всюди задовольняють нерівність
, де
— довільна 2-площина відповідного дотичного простору, що містить
, а
— довільна 2-площина відповідного дотичного простору, що містить
.
Тоді
для всіх
.
Нехай для простоти позначень
для
. Похідні цих функцій є рівні:
![{\displaystyle u'(t)=2g(J(t),\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}J(t)),\ v'(t)=2h({\tilde {J}}(t),\nabla _{{\dot {\tilde {\gamma }}}(t)}{\tilde {J}}(t)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e21359d0e4302d99d762bfc456091152acc3ff51)
Із відсутності спряжених точок випливає, що
для всіх
Тому можна ввести функції
і
де, як у статті поле Якобі для деякого векторного поля
над геодезичною лінією
позначається:
![{\displaystyle I_{a}^{b}(Y)=\int _{a}^{b}\left[g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(Y,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y)\right]dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25ad15095058a01531b2de2b55b7a79fdb97002)
Із виразів для похідних
і властивостей полів Якобі описаних у відповідній статті випливають рівності
Розв'язки цих диференціальних рівнянь для всіх
можна записати як:
![{\displaystyle u(t)=u(\varepsilon )e^{2\int _{\varepsilon }^{t}\mu dt},\quad v(t)=v(\varepsilon )e^{2\int _{\varepsilon }^{t}\nu dt}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c9310899194d350e0fc6764985109a733da07c)
Також
і з запису для похідних також
Натомість
Аналогічно
Згідно другої властивості у твердженні теореми ці два вирази є рівними між собою і не рівними нулю, тому
і тому згідно правила Лопіталя також
Як наслідок
Звідси для доведення теореми достатньо довести, що
для всіх
Нехай
— деяка точка і
Векторні поля
і
є полями Якобі над відповідними геодезиками і вони мають одиничну довжину у точках
і
.
Нехай
і
позначають підпростори дотичних просторів у точках
і
, що є ортогональними до
і
Нехай
є лінійним ізоморфізмом із
у
для якого
і
Також позначимо
(і
) оператор паралельного перенесення вздовж геодезичної лінії
із точки
у точку
(відповідно вздовж геодезичної лінії
із точки
у точку
). Тоді також можна визначити оператори
із
у
із рівнянь
Нехай
Оскільки
переводить ортонормальну сисмему паралельних векторних полів, то координати
і
у відповідних системах є рівними, як і координати
і
Звідси випливає, що
і також
для всіх
Для введених векторних полів справедливими є нерівності:
![{\displaystyle I_{0}^{c}(J^{1})\leqslant I_{0}^{c}(Z)\leqslant I_{0}^{c}({\tilde {J}}^{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6dba99b31cfad452996a608ad165c8cc0bfc77e)
Перша нерівність випливає із мінімізуючої властивості полів Якобі для
у статті поле Якобі (оскільки за побудовою
), а друга — із властивості 4 у твердженні теореми і означення і властивостей
А саме оскільки
і
, а також
то з
випливає, що
![{\displaystyle g(R(Z,{\dot {\gamma }}){\dot {\gamma }},Z)_{\gamma (t)}=K(Z,{\dot {\gamma }})_{\gamma (t)}\cdot g(Z,Z)_{\gamma (t)}\geqslant h({\tilde {R}}({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}){\dot {\tilde {\gamma }}},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}={\widetilde {K}}({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}(t))\cdot h({\tilde {J}}^{1},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea5193b11584f82faf4ea2cbe951310a2b8388f)
Остаточно нерівність випливає із врахуванням того, що
і означення
і
Але
і аналогічно
і з попередньої нерівності
Оскільки точка була вибрана довільно, то
для всіх
Нехай
— ріманів многовид, і геодезична лінія
не містить спряжених точок, тоді:
- Якщо секційна кривина многовида
є невід'ємною, то для будь-якого поля Якобі
такого, що
:
![{\displaystyle |J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |t|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da70c6e8097ab26051493d34eda890da10aac2cd)
- Якщо секційна кривина
є не меншою 1, то
![{\displaystyle |J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\sin t|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5425e3a5ed20b1a4d19db273e06b97ebf2f6b071)
- Якщо секційна кривина
не більшою -1, то
![{\displaystyle |J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\operatorname {sh} t|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c3cf7408512fb23f594f3d640267578e487f04)
- ↑ Rauch, H. E. A contribution to differential geometry in the large // Ann. Math.. — 1951. — Т. 54. — С. 38–55. — DOI:10.2307/1969309.. MR42765