Теорема Рауха про порівняння

Теорема Рауха про порівняння — фундаментальний результат ріманової геометрії, доведений американським математиком Гаррі Раухом.

Теорема стверджує, що в просторах з більшою секційною кривиною геодезичні лінії сходяться швидше.

Твердження теореми

Нехай $M$ і ${\tilde {M}}$ є рімановими многовидами із рімановими метриками $g(\cdot ,\cdot )$ і $h(\cdot ,\cdot )$, $\gamma \colon [0,T]\to M$ і ${\tilde {\gamma }}\colon [0,T]\to {\tilde {M}}$ є геодезичними із одиничною швидкістю і $J,{\tilde {J}}$ — нормальні ненульові поля Якобі вздовж $\gamma$ і ${\tilde {\gamma }}$. Нехай також додатково виконуються умови:

1. $\gamma (0)$ і ${\widetilde {\gamma }}(0)$ не мають спряжених точок вздовж $\gamma$ і ${\tilde {\gamma }}$ на інтервалі $[0,T]$.
2. $J(0)={\tilde {J}}(0)=0$.
3. Вектори $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}J(0)$ і $\nabla _{{\dot {\tilde {\gamma }}}(t)}{\tilde {J}}(0)$ мають однакову довжину у відповідних ріманових метриках (оскільки поля Якобі є ненульовими, то ця довжина є більшою 0).
4. Секційні кривини многовидів $M$ і ${\tilde {M}}$ у відповідних точках геодезичних ліній всюди задовольняють нерівність $K(\Pi )\geqslant {\widetilde {K}}({\widetilde {\Pi }})$, де $\Pi \subset T_{\gamma (t)}M$ — довільна 2-площина відповідного дотичного простору, що містить ${\dot {\gamma }}(t)$, а ${\tilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\tilde {M}}$ — довільна 2-площина відповідного дотичного простору, що містить ${\dot {\tilde {\gamma }}}(t)$.

Тоді $g(J(t),J(t))\leqslant h({\tilde {J}}(t),{\tilde {J}}(t))$ для всіх $t\in [0,T]$.

Доведення

Нехай для простоти позначень $u(t)=g(J(t),J(t)),\ v(t)=h({\tilde {J}}(t),{\tilde {J}}(t))$ для $t\in [0,T]$. Похідні цих функцій є рівні:

$u'(t)=2g(J(t),\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}J(t)),\ v'(t)=2h({\tilde {J}}(t),\nabla _{{\dot {\tilde {\gamma }}}(t)}{\tilde {J}}(t)).$

Із відсутності спряжених точок випливає, що $u(t)\neq 0,\ v(t)\neq 0$ для всіх $t\in (0,T].$ Тому можна ввести функції $\mu (t)={\frac {I_{0}^{t}(J)}{u(t)}}$ і $\nu (t)={\frac {I_{0}^{t}({\tilde {J}})}{v(t)}},$ де, як у статті поле Якобі для деякого векторного поля $Y$ над геодезичною лінією $\gamma$ позначається:

$I_{a}^{b}(Y)=\int _{a}^{b}\left[g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(Y,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y)\right]dt.$

Із виразів для похідних $u'(t),\ v'(t)$ і властивостей полів Якобі описаних у відповідній статті випливають рівності $u'(t)=2\mu (t)u(t),\ v'(t)=2\nu (t)v(t).$ Розв'язки цих диференціальних рівнянь для всіх $t\in [\varepsilon ,T]$ можна записати як:

$u(t)=u(\varepsilon )e^{2\int _{\varepsilon }^{t}\mu dt},\quad v(t)=v(\varepsilon )e^{2\int _{\varepsilon }^{t}\nu dt}.$

Також $\lim _{\varepsilon \to 0}u(\varepsilon )=\lim _{\varepsilon \to 0}v(\varepsilon )=0$ і з запису для похідних також $\lim _{\varepsilon \to 0}u'(\varepsilon )=\lim _{\varepsilon \to 0}v'(\varepsilon )=0.$ Натомість $\lim _{\varepsilon \to 0}u''(\varepsilon )=\lim _{\varepsilon \to 0}g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(\varepsilon )}J,\nabla _{{\dot {\gamma }}(\varepsilon )}J)+g(J(\varepsilon ),\nabla _{{\dot {\gamma }}(\varepsilon )}^{2}J)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}J,\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}J)$

Аналогічно

$\lim _{\varepsilon \to 0}v''(\varepsilon )=h(\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}{\tilde {J}},\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}{\tilde {J}}).$

Згідно другої властивості у твердженні теореми ці два вирази є рівними між собою і не рівними нулю, тому $\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {u''(\varepsilon )}{v''(\varepsilon )}}=1$ і тому згідно правила Лопіталя також $\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {u(\varepsilon )}{v(\varepsilon )}}=1.$

Як наслідок ${\frac {u(t)}{v(t)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}e^{2\int _{\varepsilon }^{t}\mu -\nu dt}.$ Звідси для доведення теореми достатньо довести, що $\mu (t)\leqslant \nu (t)$ для всіх $t\in (0,T].$

Нехай $c\in (0,T]$ — деяка точка і $J^{1}={J \over {\sqrt {u(c)}}},\ {\tilde {J}}^{1}={{\tilde {J}} \over {\sqrt {v(c)}}}.$ Векторні поля $J^{1}$ і ${\tilde {J}}^{1}$ є полями Якобі над відповідними геодезиками і вони мають одиничну довжину у точках $\gamma (c)$ і ${\tilde {\gamma }}(c)$.

Нехай $U_{t}$ і $V_{t}$ позначають підпростори дотичних просторів у точках $\gamma (t)$ і ${\tilde {\gamma }}(t)$, що є ортогональними до ${\dot {\gamma }}(t)$ і ${\dot {\tilde {\gamma }}}(t).$ Нехай $f_{c}$ є лінійним ізоморфізмом із $V_{c}$ у $U_{c}$ для якого $g(f_{c}(X),f_{c}(Y))=h(X,Y),\ \forall X,Y\in V_{c}$ і $J^{1}(\gamma (c))=f_{c}({\tilde {J}}^{1}({\tilde {\gamma }}(c))).$ Також позначимо $F_{t}^{c}$ (і ${\tilde {F}}_{t}^{c}$) оператор паралельного перенесення вздовж геодезичної лінії $\gamma$ із точки $\gamma (c)$ у точку $\gamma (t)$ (відповідно вздовж геодезичної лінії ${\tilde {\gamma }}$ із точки ${\tilde {\gamma }}(c)$ у точку ${\tilde {\gamma }}(t)$). Тоді також можна визначити оператори $f_{t}$ із $U_{t}$ у $V_{t}$ із рівнянь $f_{t}\circ {\tilde {F}}_{t}^{c}=F_{t}^{c}\circ f_{c}.$

Нехай $Z(\gamma (t))=f_{t}({\tilde {J}}^{1}({\tilde {\gamma }}(t))).$ Оскільки $f_{t}$ переводить ортонормальну сисмему паралельних векторних полів, то координати $Z$ і ${\tilde {J}}^{1}$ у відповідних системах є рівними, як і координати $\nabla _{\dot {\gamma }}Z$ і $\nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1}.$ Звідси випливає, що $g(Z,Z)_{\gamma (t)}=h({\tilde {J}}^{1},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}$ і також $g(\nabla _{\dot {\gamma }}Z,\nabla _{\dot {\gamma }}Z)_{\gamma (t)}=h(\nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1},\nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}$ для всіх $t\in [0,T].$

Для введених векторних полів справедливими є нерівності:

$I_{0}^{c}(J^{1})\leqslant I_{0}^{c}(Z)\leqslant I_{0}^{c}({\tilde {J}}^{1}).$

Перша нерівність випливає із мінімізуючої властивості полів Якобі для $I_{0}^{c}$ у статті поле Якобі (оскільки за побудовою $Z_{\gamma (0)}=J_{\gamma (0)}^{1}=0,\ Z_{\gamma (c)}=J_{\gamma (c)}^{1}$), а друга — із властивості 4 у твердженні теореми і означення і властивостей $Z.$ А саме оскільки $g(Z,Z)_{\gamma (t)}=h({\tilde {J}}^{1},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}$ і $g(Z,{\dot {\gamma }}(t))=h({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}(t))=0$, а також $g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=h({\dot {\tilde {\gamma }}}(t),{\dot {\tilde {\gamma }}}(t))=1$ то з $K(Z,{\dot {\gamma }}(t))\geqslant {\widetilde {K}}({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}(t))$ випливає, що

$g(R(Z,{\dot {\gamma }}){\dot {\gamma }},Z)_{\gamma (t)}=K(Z,{\dot {\gamma }})_{\gamma (t)}\cdot g(Z,Z)_{\gamma (t)}\geqslant h({\tilde {R}}({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}){\dot {\tilde {\gamma }}},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}={\widetilde {K}}({\tilde {J}}^{1},{\dot {\tilde {\gamma }}}(t))\cdot h({\tilde {J}}^{1},{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}.$

Остаточно нерівність випливає із врахуванням того, що $g(\nabla _{\dot {\gamma }}Z,\nabla _{\dot {\gamma }}Z)_{\gamma (t)}=h(\nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1},\nabla _{\dot {\tilde {\gamma }}}{\tilde {J}}^{1})_{{\tilde {\gamma }}(t)}$ і означення $I_{0}^{c}(Z)$ і $I_{0}^{c}({\tilde {J}}^{1}).$

Але $\mu (c)={\frac {I_{0}^{c}(J)}{u(c)}}=I_{0}^{c}(J^{1})$ і аналогічно $\nu (c)={\frac {I_{0}^{c}({\tilde {J}})}{v(c)}}=I_{0}^{c}({\tilde {J}}^{1})$ і з попередньої нерівності $\mu (c)\leqslant \nu (c).$ Оскільки точка була вибрана довільно, то $\mu (t)\leqslant \nu (t)$ для всіх $t\in (0,T].$

Наслідки

Нехай $M$ — ріманів многовид, і геодезична лінія $\gamma \colon [0,T]\to M$ не містить спряжених точок, тоді:

• Якщо секційна кривина многовида $M$ є невід'ємною, то для будь-якого поля Якобі $J$ такого, що $J(0)=0$:

  $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |t|.$

• Якщо секційна кривина $M$ є не меншою 1, то

  $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\sin t|.$

• Якщо секційна кривина $M$ не більшою -1, то

  $|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\operatorname {sh} t|.$

Див. також

• Поле Якобі
• Спряжені точки

Література

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург : Наука. — ISBN 5-02-024606-9.
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9. (англ.)