Поле Якобі

Поле Якобі — векторне поле вздовж геодезичної лінії $\gamma$ в деякому многовиді, що в певному сенсі описує різницю між цією геодезичною лінією і «нескінченно близькими» їй геодезичними лініями. Іншими словами, поля Якобі вздовж геодезичної лінії утворюють дотичний простір до геодезичної в просторі всіх геодезичних. Особливо часто розглядаються для ріманових многовидів.

Векторне поле вздовж геодезичної лінії є полем Якобі тоді й лише тоді коли воно задовольняє деякому рівнянню, яке називається рівнянням Якобі.

Названі на честь німецького математика Карла Якобі.

Визначення

Рівняння Якобі

Нехай M — гладкий многовид розмірності n, $\nabla$ — афінна зв'язність на ньому, T і R — тензори кручення і кривини відповідно. Розглянемо деяку геодезичну лінію $\gamma (t)$ і позначимо ${\dot {\gamma }}(t)$ її дотичне векторне поле. Векторне поле X визначене вздовж геодезичної лінії $\gamma (t)$ називається полем Якобі, якщо воно задовольняє наступному рівнянню (рівнянню Якобі):

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X+\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}T(X,{\dot {\gamma }}(t))+R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t)=0.$

У рівності вище використано позначення $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X).$

В особливо важливому частковому випадку ріманового многовиду із зв'язністю Леві-Чивіти, тензор кручення є рівним нулю і рівняння Якобі спрощується:

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X+R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t)=0.$

Однопараметрична сім'я геодезичних ліній

Розглянемо тепер відображення класу $C^{\infty }$ з множини $[0,1]\times (-\varepsilon ,\varepsilon )$ в многовид M, $(\tau ,t)\to \gamma _{\tau }(t)$ з такими властивостями:

• Для довільного $\tau \in (-\varepsilon ,\varepsilon )$ крива $\gamma _{\tau }(t)$ є геодезичною лінією;
• $\gamma _{0}(t)=\gamma (t).$

таке відображення визначає однопараметричну сім'ю геодезичних ліній. Для фіксованого t $\gamma _{\tau }(t)$ визначає криву для $\tau \in (-\varepsilon ,\varepsilon ).$ Для цієї кривої визначений дотичний вектор в точці $\tau =0.$ Повторюючи цю процедуру для різних значень t отримуємо векторне поле, яке і називається полем Якобі:

$X(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}$

Можна довести, що обидва визначення поля Якобі є насправді еквівалентними.

Приклад

На сфері геодезичними лініями через Північний полюс є великі кола. Розглянемо дві такі геодезичні $\gamma _{0}$ і $\gamma _{\tau }$ з природною параметризацією $t\in [0,\pi ]$, розділені кутом $\tau$. Геодезичне відстань $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$ рівна

$d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\operatorname {arcsin} {\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\operatorname {tg} ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.$

Щоб отримати цей вираз, потрібно знати геодезичні. Найцікавіший результат такий:

$d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0$ для будь-якого $\tau$.

Замість цього ми можемо розглянути похідні по $\tau$ при $\tau =0$:

${\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.$

Ми знову отримуємо перетин геодезичних при $t=\pi$. Зауважимо, однак, що для обчислення цієї похідної не потрібно знати $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$; все, що потрібно зробити, це розв'язати рівняння

$y''+y=0$,

для деяких заданих початкових умов.

Поля Якобі дають природне узагальнення цього явища для довільних ріманових многовидів.

Явний вигляд рівняння Якобі

Розглянемо для простоти випадок ріманового многовиду. Нехай $e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|$; додамо до цього вектора інші, щоб вийшов ортонормований базис ${\big \{}e_{i}(0){\big \}}$ в $T_{\gamma (0)}M$. Перемістимо його паралельним перенесенням, щоб отримати базис $\{e_{i}(t)\}$ в будь-якій точці $\gamma$. Внаслідок цього отримуємо ортонормальний базис з $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|$. Поле Якобі можна записати в координатах, пов'язаних з цим базисом: $X(t)=\sum _{k=1}^{n}y_{k}(t)e_{k}(t)$, звідки:

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=\sum _{k=1}^{n}{\frac {dy_{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X=\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),$

і рівняння Якобі можна переписати у вигляді системи

${\frac {d^{2}y_{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y_{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0$

для кожного $k$. Таким чином ми отримаємо систему лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Така ж система отримується і у випадку звичайних многовидів де тензор кручення не є рівним нулю.

Властивості простору полів Якобі

Зважаючи на поданий вище вид рівняння Якобі і його властивості отримуємо, що оскільки рівняння має гладкі коефіцієнти, розв'язки існують для всіх $t$ і є єдиними, якщо задані $y_{k}(t_{0})$ і ${\frac {dy_{k}}{dt}}(t_{0})$ для всіх $k$ і довільної точки $t_{0}$.

Зокрема звідси випливає, що розмірність простору полів Якобі рівна 2n, де n — розмірність многовида.

Тангенціальні і нормальні поля Якобі для ріманових многовидів

Всюди тут розглядється ріманів многовид із зв'язністю Леві-Чивіти.

• Векторні поля ${\dot {\gamma }}(t)$ і $t{\dot {\gamma }}(t)$ визначені уздовж $\gamma$ є полями Якобі. Справді із кососиметричності тензора кривини випливає, що $R({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=0$ і також $R(t{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=tR({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=0.$ За означенням геодезичних ліній $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0$ і тому також $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}{\dot {\gamma }}(t)=0,$ і тому ${\dot {\gamma }}(t)$ задовольняє рівнянню Якобі. Для поля $t{\dot {\gamma }}(t)$ натомість $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {t}}\gamma (t)={\dot {\gamma }}(t)+t\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)={\dot {\gamma }}(t)$ і тому також $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}{\dot {\gamma }}(t)=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0,$, тож це поле теж задовольняє рівнянню Якобі. Лінійні комбінації (над полем дійсних чисел) полів ${\dot {\gamma }}(t)$ і $t{\dot {\gamma }}(t)$ теж є полями Якобі. Поля такого типу називаються тангенціальними полями Якобі.
• Векторне поле $f{\dot {\gamma }}(t),$ де $f=f(t)$ — гладка функція, є полем Якобі тоді і тільки тоді, коли функція $f$ — лінійна. Відповідно у цьому випадку векторне поле є лінійною комбінацією над полем дійсних чисел векторних полів ${\dot {\gamma }}(t)$ і $t{\dot {\gamma }}(t),$ тобто тангенціальним полем Якобі. Оскільки $R(f{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=fR({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=0,$ то $f{\dot {\gamma }}(t)$ є полем Якобі тоді і тільки тоді, коли $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}f{\dot {\gamma }}(t)=0.$ Але $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}f{\dot {\gamma }}(t)=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}(f'(t){\dot {\gamma }}(t))=f''(t){\dot {\gamma }}(t).$ Цей вираз є рівним нулю для всіх t тоді і лише тоді коли $f''(t)=0$ тобто $f(t)$ є лінійною функцією.
• Будь-яке поле Якобі $X$ можна в єдиний спосіб записати у вигляді суми $a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)+I$, де $a,b$ — дійсні числа, а вектор $I(t)$ є ортогональним до ${\dot {\gamma }}(t)$ для всіх $t$. Із властивостей ріманової метрики і означення поля Якобі ${d^{2} \over dt^{2}}g(X,{\dot {\gamma }}(t))=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X,{\dot {\gamma }}(t))=g(-R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)).$ Згідно властивостей тензора кривини у рімановій геометрії для будь яких векторів $A,B,X,Y$ виконується рівність $g(R(X,Y)A,B)=-g(R(X,Y)B,A)$ і звідси $g(-R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=0.$ Тому також ${d^{2} \over dt^{2}}g(X,{\dot {\gamma }}(t))=0$ і тому $g(X,{\dot {\gamma }}(t))={\bar {a}}+{\bar {b}}t,$ для деяких дійсних чисел ${\bar {a}},{\bar {b}}.$ Тому якщо визначити $a={\bar {a}}/|{\dot {\gamma }}|,\ b={\bar {b}}/|{\dot {\gamma }}|,$ то векторне поле $I=X-a{\dot {\gamma }}(t)-bt{\dot {\gamma }}(t)$ буде ортогональним до ${\dot {\gamma }}(t)$ в усіх точках геодезичної лінії. Окрім того $a,b$ і поле Якобі $I$ визначені однозначно. Поля Якобі, що є ортогональними до ${\dot {\gamma }}(t)$ називаються нормальними полями Якобі.
• Якщо поле Якобі X уздовж геодезичної лінії $\gamma (t)$ є ортогональним до $\gamma (t)$ в двох точках то воно є ортогональним в усіх точках геодезичної лінії. Це випливає з того, що згідно доведення попередньої властивості $g(X(t),{\dot {\gamma }}(t))$ є лінійною функцією від t і тому, якщо вона є рівною 0 у двох різних точках, то вона є рівною 0 всюди.
• Поле Якобі $X$ є нормальним тоді і тільки тоді, коли для довільної точки на геодезичній лінії, що відповідає деякому параметру t) виконуються рівності $g(X(t),{\dot {\gamma }}(t))=0$ і $g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X(t),{\dot {\gamma }}(t))=0.$ Справді довільне поле Якобі однозначно записується як $X=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)+I(t),$ де векторне поле $I(t)$ є ортогональним до ${\dot {\gamma }}(t).$ Тому $X$ є нормальним тоді і тільки тоді, коли $a=0$ і $b=0.$ Але записуючи $X$ у такій формі маємо:

$g(a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)+I(t),{\dot {\gamma }}(t))=(a+bt)|{\dot {\gamma }}(t)|$

і

$g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}(a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)+I(t)),{\dot {\gamma }}(t))=b|{\dot {\gamma }}(t)|,$

тому $a=0$ і $b=0$ тоді і тільки тоді коли $g(X(t),{\dot {\gamma }}(t))=0$ і $g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X(t),{\dot {\gamma }}(t))=0.$

У другій рівності для доведення використано те, що $g(I(t),{\dot {\gamma }}(t))$ і тому $0={d \over dt}g(I(t),{\dot {\gamma }}(t))=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}I(t),{\dot {\gamma }}(t))+g(I(t),\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t))=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}I(t),{\dot {\gamma }}(t))$ згідно означень геодезичної лінії і зв'язності Леві-Чивіти. Тому $g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}I(t),{\dot {\gamma }}(t))=0.$

• Підсумовуючи тангенціальні поля Якобі утворюють двовимірний дійсний підпростір простору полів Якобі, а нормальні поля Якобі утворюють підпростір розмірності 2n - 2. Простір полів Якобі є прямою сумою підпросторів тангенціальних і нормальних полів Якобі.

• Нехай $p,q\in M$ — точки, що належать одній геодезичній лінії $\gamma (t)$ і не є спряженими щодо цієї геодезичної. Тоді для довільних $Y\in T_{p}M,\;Z\in T_{q}N$ існує єдине поле Якобі визначене на $\gamma (t),$ що приймає значення Y в точці p і Z в точці q.
• Якщо X, Y — поля Якобі вздовж геодезичної лінії $\gamma (t),$ тоді:

$g(X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)=const,$ де g — ріманова метрика. Зокрема, якщо обидва векторні поля є нульовими в деякій точці геодезичної лінії, то $g(X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)=0.$ Ці властивості випливають з того, що:

${d \over dt}g(X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)+g(X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(X,R(Y,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t))$

і

${d \over dt}g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)+g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X,Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y).$

Оскільки $g(X,R(Y,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t))=g(Y,R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t))$ то ${d \over dt}(g(X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y))=0,$ що доводить твердження.

• Якщо X є полем Якобі вздовж геодезичної лінії $\gamma (t),$ а , Y — кусково диференційовне векторне поле на цій же лінії, то для будь-яких чисел $a<b$, таких, що геодезична лінія є заданою на проміжку $[a,b]$ виконується рівність:

$\int _{a}^{b}\left[g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y)\right]dt=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)_{t=b}-g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)_{t=a}$

Дана рівність випливає із інтегрування на $[a,b]$ обох сторін рівності (яка справедлива для всіх точок крім скінченної кількості точок де $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y$ має розриви першого роду і тому при інтегруванні ними можна знехтувати):

${d \over dt}g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)+g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X,Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y).$

• Нехай для геодезичної лінії $\gamma (t),$ для якої інтервал $[a,b]$ належить області визначення, і векторного поля Y , що є кусково диференційовним вздовж геодезичної на цьому проміжку позначено $I_{a}^{b}(Y)=\int _{a}^{b}\left[g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(Y,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y)\right]dt.$ Нехай додатково $\gamma (a)$ не має спряжених точок на геодезичній на інтервалі $[a,b]$, векторне поле X є нормальним полем Якобі вздовж геодезичної для якого $X_{\gamma (a)}=0$, а Y є кусково диференційовним векторним полем вздовж геодезичної на інтервалі $[a,b]$, у кожній точці цього інтервалу $Y_{\gamma (t)}$ є ортогональним до ${\dot {\gamma }}(t)$ і $Y_{\gamma (a)}=X_{\gamma (a)}=0,\ Y_{\gamma (b)}=X_{\gamma (b)}.$ Тоді $I_{a}^{b}(X)\leqslant I_{a}^{b}(Y)$ і рівність виконується лише у випадку $X=Y.$

Приклади

• Нехай $p\in M$ і $A,B\in T_{p}M.$ Визначимо підмножину $Q\subset \mathbb {R} ^{2}$ таким чином: $(t,\tau )\in Q,$ тоді і тільки тоді коли експоненційне відображення $\exp _{p}t(B+\tau A)$ є визначеним. Тоді відображення $F:Q\to M$ визначене як $F(t,\tau )=\exp _{p}t(B+\tau A)$ є однопараметричною сім'єю геодезичних ліній, а диференціал $\operatorname {d} \exp _{p}(tA)$ задає поле Якобі вздовж кожної геодезичної лінії.

Розглянемо геодезичну лінію $\gamma (t)$ з паралельним ортонормованим репером $e_{i}(t)$, $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|$, побудованим, як описано вище.

• В евклідовому просторі (а також для просторів постійної нульової секційної кривини) поля Якобі є лінійними по $t$.
• Для ріманових многовидів постійної від'ємної секційної кривини $-k^{2}$ будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією ${\dot {\gamma }}(t)$, $t{\dot {\gamma }}(t)$ і $\exp(\pm kt)e_{i}(t)$, де $i>1$.
• Для ріманових многовидів постійної додатної секційної кривини $k^{2}$ будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією ${\dot {\gamma }}(t)$, $t{\dot {\gamma }}(t)$, $\sin(kt)e_{i}(t)$ і $\cos(kt)e_{i}(t)$, де $i>1$ .
• Звуження поля Кіллінга на геодезичну лінію є полем Якобі в будь-якому рімановому многовиді.
• Поля Якобі відповідають геодезичним лініям на дотичному розшаруванні (по відношенню до метрики в $TM$, індукованої метрикою на $M$).

Див. Також

• Спряжені точки
• Теорема Рауха про порівняння
• Рівняння Ріккаті

Література

• Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J, ISBN 0442034105 (англ.)
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9. (англ.)