Поле Якобі — векторне поле вздовж геодезичної лінії
в деякому многовиді, що в певному сенсі описує різницю між цією геодезичною лінією і «нескінченно близькими» їй геодезичними лініями.
Іншими словами, поля Якобі вздовж геодезичної лінії утворюють дотичний простір до геодезичної в просторі всіх геодезичних. Особливо часто розглядаються для ріманових многовидів.
Векторне поле вздовж геодезичної лінії є полем Якобі тоді й лише тоді коли воно задовольняє деякому рівнянню, яке називається рівнянням Якобі.
Названі на честь німецького математика Карла Якобі.
Нехай M — гладкий многовид розмірності n,
— афінна зв'язність на ньому, T і R — тензори кручення і кривини відповідно. Розглянемо деяку геодезичну лінію
і позначимо
її дотичне векторне поле. Векторне поле X визначене вздовж геодезичної лінії
називається полем Якобі, якщо воно задовольняє наступному рівнянню (рівнянню Якобі):
![{\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X+\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}T(X,{\dot {\gamma }}(t))+R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6b77b59452d805989ad8649828f0ccfd56cd9d)
У рівності вище використано позначення
В особливо важливому частковому випадку ріманового многовиду із зв'язністю Леві-Чивіти, тензор кручення є рівним нулю і рівняння Якобі спрощується:
![{\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X+R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83dd30ac50841896e24623ff5c9e5ae496b57412)
Розглянемо тепер відображення класу
з множини
в многовид M,
з такими властивостями:
- Для довільного
крива
є геодезичною лінією;
![{\displaystyle \gamma _{0}(t)=\gamma (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a1fe6b09dfe7e46bd5c31f5cf807aef14eb18c)
таке відображення визначає однопараметричну сім'ю геодезичних ліній. Для фіксованого t
визначає криву для
Для цієї кривої визначений дотичний вектор в точці
Повторюючи цю процедуру для різних значень t отримуємо векторне поле, яке і називається полем Якобі:
![{\displaystyle X(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1eaf47f1487fd7084b2a3d81269c3e57bc26b4)
Можна довести, що обидва визначення поля Якобі є насправді еквівалентними.
На сфері геодезичними лініями через Північний полюс є великі кола. Розглянемо дві такі геодезичні
і
з природною параметризацією
, розділені кутом
. Геодезичне відстань
рівна
![{\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\operatorname {arcsin} {\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\operatorname {tg} ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b0c2617b8ae79747a060453a17ee04d048c939)
Щоб отримати цей вираз, потрібно знати геодезичні. Найцікавіший результат такий:
для будь-якого
.
Замість цього ми можемо розглянути похідні по
при
:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444292f73d67f4f5fd32b2e7825001d270d06535)
Ми знову отримуємо перетин геодезичних при
. Зауважимо, однак, що для обчислення цієї похідної не потрібно знати
;
все, що потрібно зробити, це розв'язати рівняння
,
для деяких заданих початкових умов.
Поля Якобі дають природне узагальнення цього явища для довільних ріманових многовидів.
Розглянемо для простоти випадок ріманового многовиду. Нехай
; додамо до цього вектора інші, щоб вийшов ортонормований базис
в
. Перемістимо його паралельним перенесенням, щоб отримати базис
в будь-якій точці
.
Внаслідок цього отримуємо ортонормальний базис з
. Поле Якобі можна записати в координатах, пов'язаних з цим базисом:
, звідки:
![{\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=\sum _{k=1}^{n}{\frac {dy_{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X=\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc2e5f7bb0b31a33d81f467aba49c871a8441e2)
і рівняння Якобі можна переписати у вигляді системи
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y_{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y_{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2963d19321aba39ac4834ec5bfba7955ff282d)
для кожного
. Таким чином ми отримаємо систему лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Така ж система отримується і у випадку звичайних многовидів де тензор кручення не є рівним нулю.
Зважаючи на поданий вище вид рівняння Якобі і його властивості отримуємо, що оскільки рівняння має гладкі коефіцієнти, розв'язки існують для всіх
і є єдиними, якщо задані
і
для всіх
і довільної точки
.
Зокрема звідси випливає, що розмірність простору полів Якобі рівна 2n, де n — розмірність многовида.
Тангенціальні і нормальні поля Якобі для ріманових многовидів
[ред. | ред. код]
Всюди тут розглядється ріманів многовид із зв'язністю Леві-Чивіти.
- Векторні поля
і
визначені уздовж
є полями Якобі. Справді із кососиметричності тензора кривини випливає, що
і також
За означенням геодезичних ліній
і тому також
і тому
задовольняє рівнянню Якобі. Для поля
натомість
і тому також
, тож це поле теж задовольняє рівнянню Якобі. Лінійні комбінації (над полем дійсних чисел) полів
і
теж є полями Якобі. Поля такого типу називаються тангенціальними полями Якобі.
- Векторне поле
де
— гладка функція, є полем Якобі тоді і тільки тоді, коли функція
— лінійна. Відповідно у цьому випадку векторне поле є лінійною комбінацією над полем дійсних чисел векторних полів
і
тобто тангенціальним полем Якобі. Оскільки
то
є полем Якобі тоді і тільки тоді, коли
Але
Цей вираз є рівним нулю для всіх t тоді і лише тоді коли
тобто
є лінійною функцією.
- Будь-яке поле Якобі
можна в єдиний спосіб записати у вигляді суми
, де
— дійсні числа, а вектор
є ортогональним до
для всіх
. Із властивостей ріманової метрики і означення поля Якобі
Згідно властивостей тензора кривини у рімановій геометрії для будь яких векторів
виконується рівність
і звідси
Тому також
і тому
для деяких дійсних чисел
Тому якщо визначити
то векторне поле
буде ортогональним до
в усіх точках геодезичної лінії. Окрім того
і поле Якобі
визначені однозначно. Поля Якобі, що є ортогональними до
називаються нормальними полями Якобі.
- Якщо поле Якобі X уздовж геодезичної лінії
є ортогональним до
в двох точках то воно є ортогональним в усіх точках геодезичної лінії. Це випливає з того, що згідно доведення попередньої властивості
є лінійною функцією від t і тому, якщо вона є рівною 0 у двох різних точках, то вона є рівною 0 всюди.
- Поле Якобі
є нормальним тоді і тільки тоді, коли для довільної точки на геодезичній лінії, що відповідає деякому параметру t) виконуються рівності
і
Справді довільне поле Якобі однозначно записується як
де векторне поле
є ортогональним до
Тому
є нормальним тоді і тільки тоді, коли
і
Але записуючи
у такій формі маємо:
![{\displaystyle g(a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)+I(t),{\dot {\gamma }}(t))=(a+bt)|{\dot {\gamma }}(t)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f0e934edef3edacaf18c955af7ec7cab197fa3)
- і
![{\displaystyle g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}(a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)+I(t)),{\dot {\gamma }}(t))=b|{\dot {\gamma }}(t)|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0699f6527c0d678b3fd569de6489cb880370f61)
- тому
і
тоді і тільки тоді коли
і ![{\displaystyle g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X(t),{\dot {\gamma }}(t))=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be9ff413f0ce1a7b8b99964b2839661c0ff0027c)
- У другій рівності для доведення використано те, що
і тому
згідно означень геодезичної лінії і зв'язності Леві-Чивіти. Тому ![{\displaystyle g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}I(t),{\dot {\gamma }}(t))=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b8fc644d1d93217d8a4bd0ac4415d8c8070acc)
- Підсумовуючи тангенціальні поля Якобі утворюють двовимірний дійсний підпростір простору полів Якобі, а нормальні поля Якобі утворюють підпростір розмірності 2n - 2. Простір полів Якобі є прямою сумою підпросторів тангенціальних і нормальних полів Якобі.
- Нехай
— точки, що належать одній геодезичній лінії
і не є спряженими щодо цієї геодезичної. Тоді для довільних
існує єдине поле Якобі визначене на
що приймає значення Y в точці p і Z в точці q.
- Якщо X, Y — поля Якобі вздовж геодезичної лінії
тоді:
де g — ріманова метрика. Зокрема, якщо обидва векторні поля є нульовими в деякій точці геодезичної лінії, то
Ці властивості випливають з того, що:
![{\displaystyle {d \over dt}g(X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)+g(X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(X,R(Y,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26eebc5df17c84a4d68432dc548ac106855963d5)
- і
![{\displaystyle {d \over dt}g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)+g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X,Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c86b53a17f38f6c3fccda99fc2849694ee9af1b)
- Оскільки
то
що доводить твердження.
- Якщо X є полем Якобі вздовж геодезичної лінії
а , Y — кусково диференційовне векторне поле на цій же лінії, то для будь-яких чисел
, таких, що геодезична лінія є заданою на проміжку
виконується рівність:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}\left[g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y)\right]dt=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)_{t=b}-g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)_{t=a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085f562b699f5a813e34703fe368694a4ee8e633)
- Дана рівність випливає із інтегрування на
обох сторін рівності (яка справедлива для всіх точок крім скінченної кількості точок де
має розриви першого роду і тому при інтегруванні ними можна знехтувати):
![{\displaystyle {d \over dt}g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)+g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}^{2}X,Y)=g(\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X,\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}Y)-g(R(X,{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t),Y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c86b53a17f38f6c3fccda99fc2849694ee9af1b)
- Нехай для геодезичної лінії
для якої інтервал
належить області визначення, і векторного поля Y , що є кусково диференційовним вздовж геодезичної на цьому проміжку позначено
Нехай додатково
не має спряжених точок на геодезичній на інтервалі
, векторне поле X є нормальним полем Якобі вздовж геодезичної для якого
, а Y є кусково диференційовним векторним полем вздовж геодезичної на інтервалі
, у кожній точці цього інтервалу
є ортогональним до
і
Тоді
і рівність виконується лише у випадку ![{\displaystyle X=Y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aadbc75e3be0078e575aa0397bacf1307992c28)
- Нехай
і
Визначимо підмножину
таким чином:
тоді і тільки тоді коли експоненційне відображення
є визначеним. Тоді відображення
визначене як
є однопараметричною сім'єю геодезичних ліній, а диференціал
задає поле Якобі вздовж кожної геодезичної лінії.
Розглянемо геодезичну лінію
з паралельним ортонормованим репером
,
, побудованим, як описано вище.
- В евклідовому просторі (а також для просторів постійної нульової секційної кривини) поля Якобі є лінійними по
.
- Для ріманових многовидів постійної від'ємної секційної кривини
будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією
,
і
, де
.
- Для ріманових многовидів постійної додатної секційної кривини
будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією
,
,
і
, де
.
- Звуження поля Кіллінга на геодезичну лінію є полем Якобі в будь-якому рімановому многовиді.
- Поля Якобі відповідають геодезичним лініям на дотичному розшаруванні (по відношенню до метрики в
, індукованої метрикою на
).