Теорема Ферма про багатокутні числа
Теоре́ма Ферма́ про багатоку́тні чи́сла стверджує, що будь-яке натуральне число можна подати як суму не більше ніж -кутних чисел.
Приклади розбиття натуральних чисел від 1 до 30 відповідно до теореми Ферма[1]:
| Число | Сума не більше трьох трикутних чисел |
Сума не більше чотирьох квадратних чисел |
Сума не більше п'яти п'ятикутних чисел |
|
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | ||
| 2 | 1 + 1 | 1 + 1 | 1 + 1 | |
| 3 | 3 | 1 + 1 + 1 | 1 + 1 + 1 | |
| 4 | 3 + 1 | 1 + 1 + 1 + 1 | ||
| 5 | 3 + 1 + 1 | 5 | ||
| 6 | 6 | 5 + 1 | ||
| 7 | 6 + 1 | 5 + 1 + 1 | ||
| 8 | 6 + 1 + 1 | 5 + 1 + 1 + 1 | ||
| 9 | 6 + 3 | 5 + 1 + 1 + 1 + 1 | ||
| 10 | 10 | 5 + 5 | ||
| 11 | 10 + 1 | 5 + 5 + 1 | ||
| 12 | 6 + 6 | 12 | ||
| 13 | 10 + 3 | 12 + 1 | ||
| 14 | 10 + 3 + 1 | 12 + 1 + 1 | ||
| 15 | 15 | 5 + 5 + 5 | ||
| 16 | 15 + 1 | 5 + 5 + 5 + 1 | ||
| 17 | 10 + 6 + 1 | 12 + 5 | ||
| 18 | 15 + 3 | 12 + 5 + 1 | ||
| 19 | 10 + 6 + 3 | 12 + 5 + 1 + 1 | ||
| 20 | 10 + 10 | 5 + 5 + 5 + 5 | ||
| 21 | 21 | 5 + 5 + 5 + 5 + 1 | ||
| 22 | 21 + 1 | 22 | ||
| 23 | 10 + 10 + 3 | 22 + 1 | ||
| 24 | 21 + 3 | 12 + 12 | ||
| 25 | 15 + 10 | 12 + 12 + 1 | ||
| 26 | 15 + 10 + 1 | 12 + 12 + 1 + 1 | ||
| 27 | 21 + 6 | 22 + 5 | ||
| 28 | 28 | 22 + 5 + 1 | ||
| 29 | 28 + 1 | 12 + 12 + 5 | ||
| 30 | 15 + 15 | 12 + 12 + 5 + 1 |
Теорему названо ім'ям П'єра Ферма, який висунув це твердження 1638 році без доведення, але обіцяв надати його в окремій статті, яка так ніколи й не з'явилася[2]. 1770 року Лагранж довів цю теорему для квадратних чисел[2]. Гаусс довів теорему для трикутних чисел 1796 року. Він доповнив свою знахідку записом у щоденнику: «Еврика!»[3] і опублікував доведення в книзі «Арифметичні дослідження». Цей результат Гауса відомий як «теорема еврика»[4]. Повністю теорему довів Коші 1813 року[2]. Подальші доведення засновані на доведених Коші лемах[5].
Найцікавіші квадратний і трикутний випадки. Теорема Лагранжа про суму чотирьох квадратів разом із теоремою Лежандра про три квадрати вирішують проблему Воринга для . А в разі трикутних чисел заміна квадрата квадратним многочленом дозволяє зменшити необхідне число доданків.
- ↑ Виолант-и-Хольц, Альберт. Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике. — М. : Де Агостини, 2014. — С. 146. — (Мир математики: в 45 томах, том 9) — ISBN 978-5-9774-0625-3.
- ↑ а б в Heath, Sir Thomas Little (1910), Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra, Cambridge University Press, с. 188.
- ↑ Bell, Eric Temple (1956), Gauss, the Prince of Mathematicians, у Newman, James R. (ред.), The World of Mathematics, т. I, Simon & Schuster, с. 295—339. Dover reprint, 2000, ISBN 0-486-41150-8.
- ↑ Ono, Ken; Robins, Sinai; Wahl, Patrick T. (1995), On the representation of integers as sums of triangular numbers, Aequationes Mathematicae, 50 (1–2): 73—94, doi:10.1007/BF01831114, MR 1336863.
- ↑ Nathanson, Melvyn B. (1987), A short proof of Cauchy's polygonal number theorem, Proceedings of the American Mathematical Society, 99 (1): 22—24, doi:10.2307/2046263, MR 0866422
- Weisstein, Eric W. Теорема Ферма про багатокутні числа(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Nathanson, Melvyn B. (1996), Additive Number Theory The Classical Bases, Berlin: Springer, ISBN 978-0-387-94656-6 — містить доведення теореми Лагранжа і теореми про багатокутні числа.