Теорема Юнга

Теорема Юнга — нерівність між діаметром і радіусом множини точок у будь-якому евклідовому просторі. Названо на честь Генріха Юнга.

Формулювання

Нехай $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ — компактна множина діаметра $d$; тобто,

$d=\max _{p,q\,\in \,K}\{\|p-q\|\}$

Тоді існує замкнута куля з радіусом

$r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}},$

яка містить $K$. Рівність досягається для правильного n-симплекса.

2-вимірний випадок

Найпоширенішим є випадок площини, тобто $n=2$. У цьому випадку нерівність стверджує, що існує коло, яке охоплює всі точки, радіус яких задовольняє

$r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}}.$

Рівність досягається для рівностороннього трикутника

$r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.$

Варіації та узагальнення

Загальні метричні простори

Для будь-якої обмеженої множини $K$ у будь-якому метричному просторі виконується

${\tfrac {d}{2}}\leq r\leq d$

Перша нерівність випливає з нерівності трикутника для центра кулі та двох діаметральних точок. Друга випливає з того, що куля радіуса d центрована в будь-якій точці $K$, містить всю $K$.

У дискретному метричному просторі, тобто просторі, в якому відстані між будь-якою парою різних точок рівні, досягається друга нерівність. Перша нерівність досягається в ін'єктивних просторах, таких як мангеттенськ відстань на площині.

Див. також

• Нерівність Юнга

Література

• Радемахер Г., Тёплиц О. Числа и фигуры. Опыты математического мышления. — (випуск 10 серії "Библиотека математического кружка")

Посилання

• Weisstein, Eric W. Теорема Юнга(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.