Теорема обертання Ейлера

Теорема обертання Ейлера стверджує, що будь-яке обертання тривимірного простору має вісь.

Таким чином, обертання може бути описано трьома координатами: двома координатами осі обертання (наприклад, широта та довгота) і кутом повороту навколо осі.

Для заданого одиничного вектора $n$ і кута $\varphi$ позначимо $R(\varphi ,n)$ обертання в напрямку вектора $n$ проти годинникової стрілки на кут $\varphi$ . Тоді:

$R(0,n)$ — тотожне відображення для будь-якого $n$
$R(\varphi ,n)=R(-\varphi ,n)$
$R(\pi +\varphi ,n)=R(\pi -\varphi ,-n)$

Для будь-якого обертання існує єдиний кут $\varphi$ , для якого $0\leqslant \varphi \leqslant \pi$ , при цьому:

$n$ визначається однозначно, якщо $0<\varphi <\pi$ ;
$n$ будь-яке, коли $\varphi =0$ ;
$n$ визначається однозначно з точністю до знака, якщо $\varphi =\pi$ (тобто, обертання $R(\varphi ,\pm n)$ однакові).

Конструкція до теореми про обертання сфери. Ейлерові кути — [ψ,θ,φ]. Синій контур прикріплений до нерухомої сфері (початковий стан). Червоний контур кріпиться до обертаємої сфери (кінцевий стан). Перетин площин визначає нерухому вісь, яка йде в напрямку точки A. Дуги Aa та Aα повинні бути рівними.

Геометрія групи обертань

Подання Ейлера дозволяє досліджувати топологію групи обертань тривимірного евклідового простору — SO(3). Для цього розглянемо кулю з центром на початку координат з радіусом $\pi$ .

Будь-яке обертання на кут, менший $\pi$ , задає єдину точку всередині кулі (напрямок задає напрямок осі обертання, а кут задає відстань від початку координат). Обертання на кут $\pi$ відповідає двом протилежним точкам на поверхні сфери.

Таким чином, куля з ототожненими протилежними точками сфери гомеоморфна групі обертань простору SO(3).

Див. також