Теорема про заборону клонування

Теорема про заборону клонування — твердження квантової теорії про неможливість створення ідеальної копії довільного невідомого квантового стану. Теорема була сформульована Вуттерсом, Зуреком і Дієксом в 1982 році і мала величезне значення в області квантових обчислень, квантової теорії інформації та суміжних областях.

Теорема про заборону клонування є ще одним прикладом несумісності повсякденної інтуїції та квантової механіки. Ми всі звикли, що будь-який об'єкт (реальний фізичний предмет, інформація у вигляді набору бітів) можна скопіювати. Виявляється настільки повсякденна в наш час річ не є фундаментальною. Навіть один єдиний квантовий біт (кубіт) в загальному випадку неможливо скопіювати.

Стан однієї квантової системи може бути зчепленим зі станом іншої системи. Наприклад, створити зчеплений стан двох кубітів можна з допомогою однокубітного перетворення Адамара і двухкубітного квантового вентиля C-NOT. Результатом такої операції не буде клонування, оскільки результуючий стан не можна описати на мові станів підсистем. Клонування — це така операція, в результаті якої створюється стан, що є тензорним добутком ідентичних станів підсистем.

Доведення

Нехай ми хочемо створити копію системи A, яка знаходиться в стані $|\psi \rangle _{A}$ (див. означення Дірака). Для цього візьмемо систему B з таким самим гільбертовим простором, яка знаходиться в початковому стані $|e\rangle _{B}$. Початковий стан, звичайно, не повинен залежати від стану $|\psi \rangle _{A}$, оскільки цей стан нам невідомий. Система утворена сумою A + B (складена система) описується тензорним добутком станів підсистем:

$|\psi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}\equiv |\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}.$

Зі складеною системою можна провести дві різні дії.

1. Принцип невизначеності Гейзенберга стверджує, що не можна одночасно виміряти величини, чиї оператори не комутують. Проблема в тому, що в процесі вимірювання вектор стану коллапсує, інформація про нього втрачається. Якщо у нас спочатку немає множини копій вихідної системи, то дізнатися значення коефіцієнтів з одного виміру неможливо. Тобто конвертувати квантову інформацію в класичну теж не вийде. Тому ми можемо виміряти тільки стан системи, що призведе до необоротного переходу системи в одне з ЇЇ власних станів і до (часткової) втрати інформації про вихідний стан системи A. Очевидно, такий сценарій нам не підходить.
2. Інша можливість полягає в застосуванні унітарного перетворення U, належним чином «налаштовуючи» гамільтоніан системи. Оператор U буде клонувати стан системи, якщо

$U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}$

і $U|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}$

для всіх $|\phi \rangle$ і $|\psi \rangle .$

Згідно з визначенням унітарного оператора, U зберігає скалярний добуток:

$\langle e|_{B}\langle \phi |_{A}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{B}\langle \phi |_{A}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B},$

тобто

$\langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.$

З цього випливає, що або $|\phi \rangle =|\psi \rangle ,$ або стани $|\phi \rangle$ і $|\psi \rangle$ортогональні (що в загальному випадку, звичайно, невірно). Таким чином, операція U не може клонувати довільний квантовий стан. Теорема про заборону клонування доведена.

Квантова телепортація

Може здатися, що заборона на клонування робить принципово неможливою телепортацію квантової системи. Неявно мається на увазі, що для телепортації необхідно мати всю інформацію про систему, передати її в інше місце і використовувати для відновлення абсолютно точної копії вихідного об'єкта, що неможливо згідно з принципом невизначеності Гейзенберга. Проте алгоритм квантової телепортації був відкритий в 1993 році.

Неточне копіювання

Хоча створення точних копій невідомого квантового стану неможливе, можна тиражувати його неточні копії. Для цього потрібно привести вихідну систему у взаємодію з більшою допоміжною системою і провести спеціальне унітарне перетворення комбінованої системи, в результаті якого кілька компонентів більшої системи стануть приблизними копіями вихідної. Такий процес може бути використаний для атаки на квантові криптографічні системи, а також для інших цілей у квантових обчисленнях.

Див. також

• Квантова телепортація
• Сплутані квантові стани
• Квантовий комп'ютер
• Квантова криптографія

Література

• Wootters W., Zurek W. H. A Single Quantum Cannot be Cloned // Nature / M. Skipper — NPG, Springer Science+Business Media, 1982. — Vol. 299. — P. 802–803. — ISSN 1476-4687; 0028-0836 — doi:10.1038/299802A0
  d:Track:Q52990517d:Track:Q180445d:Track:Q180419d:Track:Q176916d:Track:Q512756d:Track:Q52661223d:Track:Q684933
• Dieks D. Communication by EPR devices // Physics Letters A — Elsevier BV, 1982. — Vol. 92, Iss. 6. — P. 271–272. — ISSN 0375-9601; 1873-2429 — doi:10.1016/0375-9601(82)90084-6
  d:Track:Q1659906d:Track:Q746413d:Track:Q52990575d:Track:Q5258345
• V B. V., Hillery M Quantum copying: Beyond the no-cloning theorem., Quantum cloning: Beyond the No-Cloning Theorem // Phys. Rev. A — College Park, MD: American Physical Society, 1996. — Vol. 54, Iss. 3. — P. 1844–1852. — ISSN 2469-9926; 2469-9934; 2469-9942 — doi:10.1103/PHYSREVA.54.1844 — arXiv:quant-ph/9607018
  d:Track:Q52990616d:Track:Q52296878d:Track:Q3382012d:Track:Q52990633d:Track:Q52990646
• Scarani V., Iblisdir S., Gisin N. et al. Quantum cloning // Rev. Mod. Phys. / G. D. Sprouse, P. Meystre — APS, 2005. — Vol. 77, Iss. 4. — P. 1225–1256. — ISSN 0034-6861; 1539-0756; 1538-4527 — doi:10.1103/REVMODPHYS.77.1225 — arXiv:quant-ph/0511088
  d:Track:Q30504034d:Track:Q52990704d:Track:Q119133d:Track:Q5531154d:Track:Q52990742d:Track:Q466113d:Track:Q1715287d:Track:Q52990710d:Track:Q869847d:Track:Q26572
• Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации. — М. : Постмаркет, 2002. — 376 с.
• Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. — М. : Мир, 2006. — 824 с.
• Прескилл Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. — Ижевск : РХД, 2008. — Т. 1. — 464 с. — ISBN 978-5-93972-651-1.