Топологія перекривних інтервалів

Топологією перекривних інтервалів називається топологічний простір (Х, Γ) відрізка $X=[-1,1]$, породжений множинами $[-1,b),(a,1]$, де $-1<a<0<b<1$.

Топологія Γ складатиметься з множин $[-1,b),(a,b),(a,1],[-1,1]$, ∅.

Властивості

• (Х, Γ) є $T_{0}$, але не $T_{1}$ (а отже і не $T_{2}$, ..., $T_{4}$) простором (аксіоми відокремлюваності).
• (Х, Γ) компактний.
• (Х, Γ) щільний в собі.
• (Х, Γ) гіперзв'язний, а отже зв'язний і локально зв'язний.
• (Х, Γ) задовольняє другу, а отже й першу аксіому зліченності, є сепарабельним і ліндельофовим.
• Для послідовності 0,${1 \over 2}$,0,${1 \over 2}$,0,... точка 0 є точкою накопичення, але не границею послідовності. Але будь-яка більша за ${1 \over 2}$ точка є границею цієї послідовності.
• Оскільки Γ слабша за евклідову топологію, то (Х, Γ) є лінійно зв'язним.

Див. також

• Права порядкова топологія

Література

1.Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover, reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446