Евклідова топологія дійсної прямої

В математиці, зокрема в загальній топології, евклідова, або природна топологія є однією з топологій, заданих на множині всіх дійсних чисел $\mathbb {R}$. Її стандартну базу складають інтервали $(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}$, $a,b\in \mathbb {R}$, $a<b$.

Властивості

• Евклідова топологія на $\mathbb {R}$ породжена евклідовою метрикою $d(x,y)=|x-y|$ на $\mathbb {R}$, де $|x|$ означає абсолютне значення (модуль) дійсного числа $x$. Таким чином, метричний простір $\mathbb {R}$ задовольняє всі аксіоми відокремлюваності. Крім того, $\mathbb {R}$ є повним метричним простором другої категорії.

• $\mathbb {R}$ задовольняє другу аксіому зліченності, оскільки множини вигляду $(a,b)$, де $a$ і $b$ раціональні, є зліченною базою $\mathbb {R}$. Тому $\mathbb {R}$ задовольняє першу аксіому зліченності, є ліндельофовим і сепарабельним. Множина раціональних чисел є зліченною скрізь щільною в $\mathbb {R}$ множиною.

• $\mathbb {R}$ не є зліченно компактним простором, бо відкриті інтервали $(n,n+2)$ для всіх цілих n покривають $\mathbb {R}$, але жодна їх скінченна сукупність не є покриттям $\mathbb {R}$. Але $\mathbb {R}$ локально компактний і σ-компактний, оскільки відрізки $[a,b]$, $a,b\in \mathbb {R}$, $a<b$, компактні.

• Будь-яка замкнена в $\mathbb {R}$ множина $A$ є $G_{\sigma }$-множиною, оскільки $A=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}$, де $A_{n}$ — окіл множини $A$ радіусу $1/n$, $n\in \mathbb {N}$, тобто $A_{n}=\bigcup _{x\in A}B(x,1/n)$. Кожна точка, що не належить $A$, міститься в ε-околі, який не перетинається з $A$, і таким чином не перетинається з деяким $A_{n}$.

• Будь-яке відкрите покриття $\mathbb {R}$ покриває кожен компактний відрізок $[n,n+1]$, $n\in \mathbb {Z}$, тому відкрите покриття може бути зменшене до послідовності скінченних підпокриттів ${G_{i}^{n}}$ кожного відрізка $[n,n+1]$. Тоді множини ${G_{i}^{n}}\cap (n-1,n+2)$ утворюють локально скінченне покриття, вписане в початкове відкрите покриття. Таким чином, $\mathbb {R}$ паракомпактний.

• Топологія на $\mathbb {R}$ також може бути задана квазіметрикою $d(x,y)=y-x$, коли $y\geqslant x$, і $d(x,y)=2(x-y)$, коли $y<x$.

• Набір множин $S_{ab}=\{(x,y)|x,y<b$ чи $x,y>a\}$, де $a,b\in \mathbb {R}$ і $a<b$, є передбазою рівномірності $U$, породженої природною топологією на $\mathbb {R}$, але $U$ не є звичайною метричною рівномірністю.

• Евклідів $n$-вимірний простір $\mathbb {R} ^{n}$ визначається як добуток n копій $\mathbb {R}$. Топологія добутку породжується базою, яка складається з відкритих прямокутників, тобто множин, які є декартовим добутком відкритих інтервалів з кожної копії $\mathbb {R}$. Еквівалентна база складається з відкритих $n$-вимірних куль відносно евклідової метрики $d(x,y)=(\Sigma \ (x_{i}-y_{i})^{2})^{\frac {1}{2}}$ в $\mathbb {R} ^{n}$.