Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна:
слід.
Слід матриці — операція, що відображає простір квадратних матриць у поле, над яким визначена матриця (див. функціонал).
Слід матриці — це сума усіх її діагональних елементів, тобто якщо
елементи матриці
, її слід дорівнює:
![{\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A=\mathop {\rm {Sp}} \;A=\sum _{i}a_{ii}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a8a5e4b5b1a8e942af8a8a207e254451c30747)
В математичних текстах зустрічається два позначення операції взяття сліду:
(трейс, від англ. Trace — слід), і
(шпур, від нім. Spur — слід).
![{\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \;\mathop {\rm {tr}} \;A+\beta \;\mathop {\rm {tr}} \;B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70d5944157626c31f5c5cd81c14aa2f50a16ca1)
,
![{\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(ABC)=\mathop {\rm {tr}} \;(BCA)=\mathop {\rm {tr}} \;(CAB)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0198a960ccf3b2fa816d815098e59eaad2cffdd)
,
- де T означає операцію транспонування.
![{\displaystyle \operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} (APP^{-1})=\operatorname {tr} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8b410eff5b856ec644c74aeaabbbf11e461d36)
![{\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;A\otimes B=(\mathop {\rm {tr}} \;A)(\mathop {\rm {tr}} \;B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b5d68117a1a68a395524cb4021bee71ad8550e)
![{\displaystyle f({\rm {trA)=\mathop {\rm {tr}} \;(f(A)).}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e27549efedd5e0ce79779e9e1a7519b81b89d21)
Для матриці A розміром m на n з комплексними (чи дійсними) елементами, де A* позначає ермітово спряжену матрицю, маємо нерівність
![{\displaystyle \operatorname {tr} (A^{*}A)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83881ca9cb15e4834b16d6fc2d214152a8df7d27)
яка перетворюється в рівність тоді і тільки тоді коли
. Присвоєння
![{\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (A^{*}B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd68f862aaa4e1616533d01de642b9ce8cde2cc)
дає внутрішній добуток на просторі всіх комплексних (чи дійсних) матриць розміру m на n.
Норму яку отримують з вищенаведеного внутрішнього добутку називають нормою Фробеніуса, яка задовільняє властивість субмультиплікативності для норм матриць. Справді, це просто Евклідова норма якщо вважати матрицю вектором довжини mn.
Якщо A і B дійсні додатнонапівозначені матриці однакового розміру, то виконується рівність
![{\displaystyle 0\leq [\operatorname {tr} (AB)]^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{2})\operatorname {tr} (B^{2})\leq [\operatorname {tr} (A)]^{2}[\operatorname {tr} (B)]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8946a90e83a3e98795c72e928e04afb8812ce1)
Її можна довести використавши нерівність Коші — Буняковського.