Нерівність Коші—Шварца (Коші-Шварца; англ. Cauchy–Schwarz inequality, англ. Cauchy–Schwarz–inequality) — нерівність, що зв'язує норму та скалярний добуток векторів векторного простору.
Еквівалентно нерівності трикутника для норми в просторі зі скалярним добутком.
Знаходить застосування в лінійній алгебрі для векторів, в математичному аналізі для нескінченних рядів та інтегрування добутків та в теорії ймовірностей при застосуванні до варіації та коваріації.
Нерівність для сум було опубліковано Оґюстеном Коші (1821) (тому цей випадок називають — Нерівність Коші), а відповідна нерівність для інтегралів була вперше сформульована Віктором Буняковським (1859) та вдруге відкрита Германом Шварцем (1888).
Для довільних векторів
,
із прегільбертового простору виконується наступна нерівність:
,
де
— операція скалярного добутку, а
— модуль числа.
Якщо означити норму, то нерівність можна записати як:
.
Причому рівність виконується лише у випадку коли вектори
,
лінійно залежні.
Лінійний простір ![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
[ред. | ред. код]
Скалярний добуток векторів
і
означимо за формулою
,
тоді отримаємо, що для дійсних чисел
виконується нерівність
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed7585c4a3fa7684bdfccefb3578fe682b2669f)
у заданій формі нерівність Коші-Шварца часто використовується на математичних олімпіадах.
Лінійний простір ![{\displaystyle \ C[a;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c549818f7a85410e3cf2c01f11a524802db6b345)
[ред. | ред. код]
— лінійний простір неперервних на відрізку
функцій.
Скалярний добуток для функцій
означимо через
, то виконуватиметься нерівність
![{\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \limits _{a}^{b}\left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \limits _{a}^{b}\left|g(x)\right|^{2}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ef2a8fa3d2c1eccb1576e528b9a208edd5a730)
Для довільного
Розглянемо скалярний квадрат вектора
:
Отримуємо квадратичну нерівність
для всіх
. Це можливо, тоді і тільки тоді, коли її дискримінант
не більший від нуля.
Звідки отримуємо
.
Лінійний простір ![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
[ред. | ред. код]
В лінійному просторі
з введеним скалярним добутком
нерівність Коші-Буняковського можна довести і по іншому, зокрема так
![{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{j=1}^{n}y_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-2\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\sum _{j=1}^{n}x_{j}y_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6ac698600865958aff1a2c924aa63b1e6fdd12)
або після зведення однакових доданків
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f801155d077e77c9dcb7ea7bedb0e505bf3db9dd)
Оскільки ліва частина останньої тотожності завжди є невід'ємною, бо є сумою квадратів, то права також приймає невід'ємні значення, звідки негайно слідує нерівність Коші-Шварца в лінійному просторі
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/745057a70c63502ac82445f459df6e83627ea071)
Найвідоміші застосування нерівності Коші-Буняковського
[ред. | ред. код]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|x+y\|^{2}&=\langle x+y,x+y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}\\&=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964bc205f22c67dff3a8fc27958a94ad3958a811)
добувши корінь з обидвох частин, отримаємо нерівність трикутника.
На математичних олімпіадах часто використовують наслідок з нерівності Коші-Буняковського для лінійного простору
:
для додатних дійсних
![{\displaystyle {\dfrac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\dfrac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\ldots +{\dfrac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\dfrac {(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d801029334e88954e0d7560cb36aaa3fdbf2cf)
Нерівність негайно слідує з нерівності Коші-Шварца, якщо покласти
.
Зокрема дану нерівність можна використати для доведення нерівності Несбіта:
з нерівностей Коші-Шварца і трьох квадратів отримуємо:
![{\displaystyle {\dfrac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\dfrac {b^{2}}{b(a+c)}}+{\dfrac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\dfrac {(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)}}\geq {\dfrac {3}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38be0b7d657313eabcb5cacfefec8de5fba76ff1)
з чого негайно слідує нерівність Несбіта.
|
---|
| Середнє |
|
---|
| Геометрія |
|
---|
| Теорія ймовірностей та мат. статистика |
|
---|
| Теореми |
|
---|
| Нерівності |
|
---|
|