Узагальнений власний вектор

У лінійній алгебрі, узагальнений власний вектор матриці $A$ розміру $n\times n$ це вектор, що задовольняє певним критеріям, слабкішим ніж у випадку (звичайного) власного вектора.

Нехай $V$ буде $n$-вимірним векторним простором; нехай $\phi$ це лінійне відображення з L(V), множини всіх лінійних відображень з $V$ на себе; і нехай $A$ буде матричним представленням $\phi$ щодо певного впорядкованого базису.

Не завжди існує повний набір з $n$ лінійно незалежних власних векторів $A,$ які формують повний базис для $V$. Тобто, матриця $A$ може бути недіагоналізовною. Це трапляється коли алгебрична кратність хоча б одного власного значення $\lambda _{i}$ більша ніж його геометрична кратність (ступінь виродженості матриці $(A-\lambda _{i}I)$, або вимірність її нульового простору). У такому разі, $\lambda _{i}$ називається дефектним власним значенням, а $A$ називається дефектною матрицею.

Узагальнений власний вектор $x_{i}$, що відповідає $\lambda _{i}$, разом із матрицею $(A-\lambda _{i}I)$ породжує жорданів ланцюг лінійно незалежних узагальнених власних векторів, які утворюють базис для інваріантного підпростору $V$.

Використовуючи узагальнені власні вектори, множину лінійно незалежних власних векторів $A$ можна розширити, якщо необхідно, до повного базису $V$. Цей базис можна використати для побудови майже діагональної матриці $J$ у жордановій нормальній формі, подібну до $A$, що корисно для обчислення певних матричних функцій від $A$. Матриця $J$ також корисна для розв'язання систем лінійних диференціальних рівнянь $\mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,$ де $A$ має бути діагоналізовною.

Розмірність узагальненого власного простору відповідного заданому власному значеню $\lambda$ збігається з алгебричною кратністю $\lambda$.

Огляд і означення

Існує декілька тотожних способів означити звичайний в-вектор. Тут ми вважатимемо, що в-вектор $\mathbf {u}$ пов'язаний з в-значенням $\lambda$ матриці $A$ розміру $n\times n$ це ненульовий вектор, для якого $(A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0}$, де $I$ це $n\times n$ одинична матриця і $\mathbf {0}$ це нульовий вектор завдовжки $n$. Тобто, $\mathbf {u}$ це вектор з ядра відображення $(A-\lambda I)$. Якщо $A$ має $n$ лінійно незалежних в-векторів, тоді $A$ подібна діагональній матриці $D$. Тобто, існує оборотна матриця $M$ така, що $A$ діагоналізовна через перетворення подібності $D=M^{-1}AM$. Матриця $D$ це спектральна матриця для $A$. Матрицю $M$ називають модальною матрицею для $A$. Діагоналізовні матриці становлять особливий інтерес завдяки тому, що їхні матричні функції легко обчислити.

З іншого боку, якщо $A$ не має $n$ лінійно незалежних векторів, тоді $A$ не діагоналізовна.

Означення: Вектор $\mathbf {x} _{m}$ це узагальнений власний вектор рангу m матриці $A$, що відповідає власному значенню $\lambda$ якщо

$(A-\lambda I)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0}$

але

$(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} .$

Очевидно, що узагальнений в-вектор рангу 1 це звичайний в-вектор. Кожна $n\times n$ матриця $A$ має $n$ лінійно незалежних узагальнених в-векторів, можна показати, що вона подібна до майже діагональної матриці $J$ в жордановій нормальній формі. Тобто, існує оборотна матриця $M$ така, що $J=M^{-1}AM$. Тут матриця $M$ це узагальнена модальна матриця для $A$. Якщо $\lambda$ це в-значення алгебричної кратності $\mu$, тоді $A$ матиме $\mu$ лінійно незалежних в-векторів відповідних $\lambda$. Ці результати надають безпосередній метод обчислення певних матричних функцій для $A$.

Зауваження: для того, щоб матрицю $A$ розміру $n\times n$ над полем $F$ можна було виразити в жордановій нормальній формі, всі в-значення $A$ повинні бути в $F$. Тобто, має бути можливим повністю факторизувати характеристичний поліном $f(x)$ на лінійні множники. Наприклад, якщо $A$ має дійсно-значимі елементи, то дякі її в-значення і компоненти в-векторів можуть бути комплексні.

Підпростір натягнутий на всі узагальнені в-вектори для заданого $\lambda$, утворює узагальнений власний простір для $\lambda$.

Приклади

Наведемо декілька прикладів, щоб проілюструвати концепцію узагальнених в-векторів.

Приклад 1

Цей приклад просто, але ясно висвітлює ідею. Такий тип матриць можна часто зустріти в підручниках. Покладемо

$A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$

Тут лише одне в-значення, $\lambda =1$, і його алгебрична кратність m = 2.

Зауважте, що ця матриця в жордановій нормальній формі, але не діагональна. З цього ясно, що матриця недіагоналізовна. Через те, що наявний один наддіагональний елемент, маємо один узагальнений в-вектор рангу більше ніж 1 (також можна помітити, що векторний простір $V$ двовимірний, тому може бути не більше ніж один узагальнений вектор рангу більше ніж 1). Інакше, можна обчислити розмірність p нульового простору $A-\lambda I$, яка дорівнює 1, і отже існує m – p = 1 узагальнений в-вектор рангу більше ніж 1.

Звичайний в-вектор $\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ можна обчислити як зазвичай. Далі, використовуючи цей в-вектор, можна обчислити узагальнений в-вектор $\mathbf {v} _{2}$ розв'язавши

$(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.$

Це можна розписати як:

$\left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.$

І спростити до:

$v_{22}=1.$

На елемент $v_{21}$ немає обмежень. Виходить, що узагальнений в-вектор рангу 2 це $\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}$, де a може бути будь-яким скалярним значенням. Зазвичай, найпростішим вибором буде a = 0.

Зауважте, що

$(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},$

тобто $\mathbf {v} _{2}$ це узагальнений в-вектор,

$(A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,$

отже $\mathbf {v} _{1}$ це звичайний в-вектор, і вектори $\mathbf {v} _{1}$ та $\mathbf {v} _{2}$ лінійно незалежні, а значить є базисом для векторного простору $V$.

Приклад 2

Цей приклад складніший ніж попередній. На жаль, вельми складно підібрати цікавий приклад маленького розміру. Матриця

$A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}$

має такі в-значення $\lambda _{1}=1$ і $\lambda _{2}=2$ із алгебричними кратностями $\mu _{1}=2$ and $\mu _{2}=3$, але їхні геометричні кратності$\gamma _{1}=1$ і $\gamma _{2}=1$.

Узагальнені в-простори $A$ обчислено нижче. $\mathbf {x} _{1}$ це звичайний в-вектор для $\lambda _{1}$. $\mathbf {x} _{2}$ це узагальнений в-вектор для $\lambda _{1}$. $\mathbf {y} _{1}$ це звичайний в-вектор для $\lambda _{2}$. $\mathbf {y} _{2}$ і $\mathbf {y} _{3}$ це узагальнені в-вектори для with $\lambda _{2}$.

$(A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,$

$(A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},$

$(A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,$

$(A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},$

$(A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.$

В-вектори, звичайні й узагальнені, зібрані в базиси узагальнених в-просторів матриці $A$. Два ланцюги разом породжують простір 5-вимірних векторів стовпчиків.

$\left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.$

Майже діагональну в жордановій нормальній формі матрицю $J$, подібну до $A$ отримуємо так:

$M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},$

$J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},$

де $M$ це узагальнена модальна матриця для $A$, стовпчики $M$ складають канонічний базис для $A$, а $AM=MJ$.

Жорданові ланцюги

Означення: Нехай $\mathbf {x} _{m}$ буде узагальненим в-вектором рангу m, що відповідає в-значенню $\lambda$ матриці $A.$ Ланцюг утворений $\mathbf {x} _{m}$ це множина векторів $\left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}$ таким чином

$\mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m},$ $\mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda I)^{2}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-1},$ $\mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda I)^{3}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-2},$ $\vdots$ $\mathbf {x} _{1}=(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{2}.$

(1)

Тобто, маємо таку формулу,

$\mathbf {x} _{j}=(A-\lambda I)^{m-j}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{j+1}\qquad (j=1,2,\dots ,m-1).$

(2)

Вектор $\mathbf {x} _{j}$, обчислений за (2), це узагальнений в-вектор рангу j, що відповідє в-значенню $\lambda$. Ланцюг являє собою лінійно незалежну множину векторів.

Канонічний базис

Означення: Множина з n лінійно незалежних узагальнених векторів утворена винятково жордановими ланцюгами це канонічний базис.

Отже, щойно ми визначили, що узагальнений в-вектор рангу m приналежить канонічному базису, з цього випливає, що m − 1 vectors $\mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1},$ які входять до жорданового ланцюга породженого $\mathbf {x} _{m}$ також приналежать канонічному базису.

Нехай $\lambda _{i}$ буде в-значенням алгебричної кратності $\mu _{i}$ матриці $A$ розміру $n\times n.$ Спочатку знайдімо ранги матриць $(A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}.$ Ціле число $m_{i}$ визначається як перше ціле для якого $(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}$ має ранг $n-\mu _{i}.$

Тепер визначимо

$\rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).$

Змінна $\rho _{k}$ позначає число лінійно незалежних узагальнених в-векторів рангу k, що відповідають в-значенню $\lambda _{i},$ які з'являться в канонічному базисі для$A$. Зауважте, що

$\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n$.

Література

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (вид. 5th), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right (вид. 2nd). Springer. ISBN 978-0-387-98258-8.
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (вид. 5th), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
• Cullen, Charles G. (1966), Matrices and Linear Transformations, Reading: Addison-Wesley, LCCN 66021267
• Franklin, Joel N. (1968), Matrix Theory, Englewood Cliffs: Prentice-Hall, LCCN 68016345
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (вид. 3rd), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-8
• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (вид. 3rd), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (вид. 2nd), New York: Wiley, LCCN 76091646