Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Форма Кіллінга — симетрична білінійна форма на алгебрі Лі певного типу.
Нехай
— скінченновимірна алгебра Лі над полем
.
Кожен елемент
з
визначає ендоморфізм
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon z\mapsto [x,z],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7694cbac0b14581955fc19382d890d903a2338d)
де
— дужка Лі.
Тоді слід композиції таких ендоморфізмів визначає симетричну білінійну форму
![{\displaystyle B(x,y)=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be511565bed35d5885fa449c13d81ba59b6cbec6)
зі значеннями в полі
.
Ця форма
називається формою Кіллінга на
.
- Форма Кіллінга є білінійною і симетричною.
- Білінійність випливає з того, що
і, відповідно
, а також з того що
і
для довільних ендоморфізмів A, B, C.
- Симетричність випливає з того, що
для довільних ендоморфізмів A, B.
- Форма Кіллінга є інваріантною формою, тобто
![{\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z]),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315f488ecd22f9f9faf267cade62fcda3c1f11ad)
- Де
— дужка Лі.
- З визначень і рівності Якобі одержується рівність
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}(z)=[[x,y],z]=[x,[y,z]]-[y,[x,z]]=\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y}(z)-\mathrm {ad} _{y}\circ \mathrm {ad} _{x}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0713c09a2552d2fb6008c8a751dd5945c011c24a)
- Звідси
![{\displaystyle B([x,y],z)=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y}\circ \mathrm {ad} _{z})-\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{y}\circ \mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{z})=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y}\circ \mathrm {ad} _{z})-\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{z}\circ \mathrm {ad} _{y})=B(x,[y,z]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65b54bc91b1d1db82d90761ace8d04baeb3cffe)
- Якщо
є простою алгеброю Лі, то будь-яка інваріантна симетрична білінійна форма на
пропорційна формі Кіллінга.
- Форма Кіллінга також є інваріантною щодо автоморфізмів алгебри Лі, тобто
![{\displaystyle B(\phi (x),\phi (y))=B(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c217c40678ac31c2d6944bd8772b334f7305da)
- Де
.
- * Зокрема, лівоінваріантне поле форм на відповідній групі Лі, що збігається з
в одиниці, є також правоінваріантним, і відповідно біінваріантним.
- З визначення автоморфізмів алгебр Лі
і відповідно
З інваріантності сліду для подібних ендоморфізмів одержується інваріантність форми Кіллінга.
- Згідно критерію Картана, алгебра Лі є напівпростою тоді і тільки тоді, коли її форма Кіллінга є невиродженою.
- Форма Кіллінга нільпотентної алгебри є тотожним нулем. Більш загально через форму Кілліна також можна дати означення розв'язної алгебри Лі.
- Якщо
і
— два ідеали в алгебрі Лі
з нульовим перетином, тоді
і
утворюють ортогональні підпростори по відношенню до форми Кіллінга.
- Ортогональне доповнення щодо ідеалу по відношенню до форми Кіллінга також є ідеалом.
- Якщо алгебра Лі є прямою сумою своїх ідеалів, то її форма Кіллінга є прямою сумою форм Кіллінга на окремих доданків.