Формула Єнсена є твердженням у комплексному аналізі, що описує поведінку голоморфної в крузі функції в залежності від модулів нулів цієї функції. Твердження є важливим зокрема при вивченні цілих функцій.
Нехай
є голоморфною функцією в області комплексної площини, що містить замкнутий круг
з центром 0 і радіусом r і
нулі
в
, враховуючи їх кратність.
Якщо
не є рівним нулю, то
![{\displaystyle \log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{N}\log \left({\frac {r}{|\alpha _{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b821afb678a87d1979f4c1ec80e80dc44d6d15b)
Еквівалентно якщо
позначає кількість нулів функції
строго менших за модулем
, то
![{\displaystyle \log |f(0)|+\int _{0}^{r}{\frac {n(s)}{s}}~\mathrm {d} s={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a887c5f8e4c84446b1d8770096f1c42bc98ce0)
- Припустимо спершу, що функція
не має нулів у
. У цьому випадку вона не має нулів у
для деякого малого
. Оскільки
є однозв'язною і
не є рівною нулю, то існує функція
, що є голоморфною в
, така що
. Тому функція
, дійсна частина голоморфної функції, є гармонічною в
. Зокрема вона є гармонічною в
і неперервною в
. Згідно властивості середнього значення:
Це завершує першу частину доведення.
- Припустимо що функція
має нулі в
, пронумеровані в такий спосіб: :
Позначимо
Функція
є голоморфною в
і не рівною нулю в
. Згідно першої частини доведення:
Тому для завершення доведення достатньо показати, що
. Оскільки
і, позначивши
отримуємо:
тож
, що завершує доведення.
- Фундаментальна теорема алгебри
- Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що кожен многочлен з комплексними коефіцієнтами степеня
має
коренів, враховуючи кратність.
- Для теореми існує кілька доведень з використанням ідей комплексного аналізу. Зокрема для доведення можна використати формулу Єнсена.
- Нехай маємо многочлен
де
не дорівнює нулю. Припустимо також, що
не дорівнює нулю. Відображення
є цілою функцією (тобто голоморфною в
). Для великих за модулем комплексних чисел маємо
. Згідно з класичними методами порівняння розбіжних інтегралів маємо:
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |P(re^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta \sim k\log r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a724e529f301ef7d70e2def29189a7aa7b303fa7)
- Многочлен степеня
в
має щонайбільше k комплексних коренів, враховуючи кратність. Тоді кількість коренів у крузі
для достатньо великих
є константою, рівною кількості коренів многочлена
. Згідно з формулою Єнсена
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |P(re^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta =\log |P(0)|+\int _{0}^{r}{\frac {n(s)}{s}}~\mathrm {d} s=n_{0}\log r+{\text{Constante}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a33467c389af423d980ec8e20a6734302b9fc0)
- Після порівняння двох еквівалентностей
. Тобто многочлен
має
коренів, враховуючи кратність.
- Формула Єнсена використовується для оцінення кількості нулів голоморфних функцій. А саме, якщо f є голоморфною в крузі радіуса R з центром у точці z0 і якщо |f| є обмеженою числом M на межі круга, тоді кількість нулів f у крузі радіуса r<R з центром у цій же точці z0 не перевищує
![{\displaystyle {\frac {1}{\log(R/r)}}\log {\frac {M}{|f(z_{0})|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a125a59cdb1c89a218785a1c9906a0aeaadfc5)
- Формула Єнсена є важливою у вивченні розподілу значень цілих і мероморфних функцій, зокрема теорії Неванлінни.
Формулу Єнсена можна узагальнити для мероморфних функцій у
. Припустимо, що
![{\displaystyle f(z)=z^{l}{\frac {g(z)}{h(z)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b45077e1cd1dfb4baf5e05b9234259403bfd66)
де g і h є голоморфними у
, з нулями у точках
і
відповідно. Формула Єнсена для мероморфних функцій має вид
![{\displaystyle \log \left|{\frac {g(0)}{h(0)}}\right|=\log \left|r^{m-n}{\frac {a_{1}\ldots a_{n}}{b_{1}\ldots b_{m}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5248ffaaf67f9e9ebfbf5ae72df5d8585890987a)
Формула Єнсена є наслідком більш загальної формули Пуассона — Єнсена, яка натомість випливає з формули Єнсена за допомогою перетворення Мебіуса застосованого до z. Цю формулу вперше вивів Рольф Неванлінна. Якщо функція f є голоморфою в одиничному крузі, з нулями a1, a2, ..., an розміщеними всередині одиничного круга, то для кожного
в одиничному крузі формула Пуассона — Єнсена має вигляд
![{\displaystyle \log |f(z_{0})|=\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {z_{0}-a_{k}}{1-{\bar {a}}_{k}z_{0}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d076d0806c17d04e2bd2766dbe522d7d6ca1cb)
Тут,
![{\displaystyle P_{r}(\omega )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }r^{|n|}e^{in\omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656af08c16bbd8c53821633cd280a31560360397)
є ядром Пуассона в одиничному крузі.
Якщо функція f не має нулів в одиничному крузі, то формула Пуассона — Єнсена зводиться до
![{\displaystyle \log |f(z_{0})|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5242b653467bf8512e8ff947097f3963a88d8c57)
тобто до інтегральної формули Пуассона для гармонічної функції
.
- Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X