Відношення (ln n !) до (n ln n − n ) при n прямуючому до нескінченості прямує до 1. Формула Стірлінґа є наближенням для факторіалів при великих значеннях n , названа на честь Джеймса Стірлінґа . Формальне твердження формули
lim
n
→
∞
n
!
n
n
e
−
n
2
π
n
=
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n! \over {n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}}=1}
або
n
!
≈
n
n
e
−
n
2
π
n
(
n
→
∞
)
{\displaystyle n!\approx n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (n\to \infty )}
Формула Стірлінґа отримується із Асимптотичного розкладу Стірлінга для
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
n
!
{\displaystyle n!}
:
Γ
(
z
)
=
e
−
z
z
z
−
1
/
2
2
π
[
1
+
1
12
z
+
1
288
z
2
−
139
51840
z
3
−
571
2488320
z
4
+
O
(
z
−
5
)
]
{\displaystyle \Gamma (z)=e^{-z}z^{z-1/2}{\sqrt {2\pi }}{\begin{bmatrix}1+{1 \over {12z}}+{1 \over {288z^{2}}}-{139 \over {51840z^{3}}}-{571 \over {2488320z^{4}}}+O(z^{-5})\end{bmatrix}}}
де
(
|
a
r
g
z
|
<
π
)
{\displaystyle ({\begin{vmatrix}arg\ z\end{vmatrix}}<\pi )}
ряд Стірлінґа ) Ряд Стірлінґа особливо корисний для великих значень
|
z
|
{\displaystyle {\begin{vmatrix}z\end{vmatrix}}}
абсолютна похибка менша ніж абсолютна величина останнього із взятих елементів ряду.
Рядом Стірлінґа також називається асимптотичний розклад логарифма від n!:
log
n
!
=
n
log
n
−
n
+
1
2
log
(
2
π
n
)
+
1
12
n
−
1
360
n
3
+
1
1260
n
5
−
1
1680
n
7
+
⋯
{\displaystyle \log n!=n\log n-n+{1 \over 2}\log(2\pi n)+{1 \over 12n}-{1 \over 360n^{3}}+{1 \over 1260n^{5}}-{1 \over 1680n^{7}}+\cdots }
Відносна похибка формули Стірлінґа спадає із зростанням n, ця формула часто використовується для обчислення відношення двох факторіалів або гамма-функцій, оскільки в цьому випадку відносна похибка особливо важлива. Зауважимо зокрема що Формула Стірлінґа
n
n
e
−
n
2
π
n
<
n
!
<
n
n
2
π
n
e
−
n
+
1
12
n
{\displaystyle n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}<n!<n^{n}{\sqrt {2\pi n}}\ e^{-n+{1 \over {12n}}}}
та
n
!
≈
n
n
2
π
n
e
−
n
+
1
12
n
−
1
360
n
2
+
.
.
.
{\displaystyle n!\approx n^{n}{\sqrt {2\pi n}}\ e^{-n+{1 \over {12n}}-{1 \over {360n^{2}}}+...}}
при
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
Грубо кажучи, найпростішу версію формули Стірлінґа можна швидко отримати, наближаючи суму
ln
n
!
=
∑
j
=
1
n
ln
j
{\displaystyle \ln n!=\sum _{j=1}^{n}\ln j}
до інтегралу
∑
j
=
1
n
ln
j
≈
∫
1
n
ln
x
d
x
=
n
ln
n
−
n
+
1.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\ln j\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1.}
Повна формула разом із точною похибкою може бути отримана наступним чином.Замість наближення n !логарифм натуральний оскільки він є функцією, яка повільно змінюється
ln
n
!
=
ln
1
+
ln
2
+
⋯
+
ln
n
.
{\displaystyle \ln n!=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.}
Від правої частини рівняння віднімаємо
1
2
(
ln
1
+
ln
n
)
=
1
2
ln
n
,
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\ln 1+\ln n)={\tfrac {1}{2}}\ln n,}
і наближуємо методом трапецій інтеграл
ln
n
!
−
1
2
ln
n
≈
∫
1
n
ln
x
d
x
=
n
ln
n
−
n
+
1
,
{\displaystyle \ln n!-{\tfrac {1}{2}}\ln n\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1,}
Похибка в цьому наближенні задається формулою Ейлера—Маклорена
ln
n
!
−
1
2
ln
n
=
1
2
ln
1
+
ln
2
+
ln
3
+
⋯
+
ln
(
n
−
1
)
+
1
2
ln
n
=
n
ln
n
−
n
+
1
+
∑
k
=
2
m
(
−
1
)
k
B
k
k
(
k
−
1
)
(
1
n
k
−
1
−
1
)
+
R
m
,
n
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln n!-{\tfrac {1}{2}}\ln n&={\tfrac {1}{2}}\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln(n-1)+{\tfrac {1}{2}}\ln n\\&=n\ln n-n+1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R_{m,n},\end{aligned}}}
де Bk — числа Бернуллі та R m ,n
lim
n
→
∞
(
ln
n
!
−
n
ln
n
+
n
−
1
2
ln
n
)
=
1
−
∑
k
=
2
m
(
−
1
)
k
B
k
k
(
k
−
1
)
+
lim
n
→
∞
R
m
,
n
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln n!-n\ln n+n-{\tfrac {1}{2}}\ln n\right)=1-\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{m,n}.}
Позначимо цю границю як y . Оскільки залишок R m ,n формулі Ейлера—Маклорена задовольняє
R
m
,
n
=
lim
n
→
∞
R
m
,
n
+
O
(
1
n
m
)
,
{\displaystyle R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right),}
де ми використовуємо нотацію Ландау ,об'єднуючи вищенаведені рівняння, отримуємо наближену формулу в її логарифмічній формі
ln
n
!
=
n
ln
(
n
e
)
+
1
2
ln
n
+
y
+
∑
k
=
2
m
(
−
1
)
k
B
k
k
(
k
−
1
)
n
k
−
1
+
O
(
1
n
m
)
.
{\displaystyle \ln n!=n\ln \left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln n+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).}
Взявши експоненту обох сторін і вибираючи будь-яке натуральне m ,отримуємо формулу з невідомою величиною \mathrm{e}y . Для m = 1
n
!
=
e
y
n
(
n
e
)
n
(
1
+
O
(
1
n
)
)
.
{\displaystyle n!=\mathrm {e} ^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}
Величина
e
y
{\displaystyle \mathrm {e} ^{y}}
(
n
→
∞
)
{\displaystyle (n\to \infty )}
формулу Валліса , яка показує, що
e
y
=
2
π
{\displaystyle \mathrm {e} ^{y}={\sqrt {2\pi }}}
n
!
=
2
π
n
(
n
e
)
n
(
1
+
O
(
1
n
)
)
.
{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}
Формулу вперше відкрив Абрахам де Муавр у формі
n
!
∼
[
c
o
n
s
t
a
n
t
]
⋅
n
n
+
1
/
2
e
−
n
{\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+1/2}e^{-n}}
Стірлінґ встановив що константа дорівнює
2
π
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}
![{\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+1/2}e^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa028787509805cfaacd539e79677320a94fcc5)
