Формула монотонності

Формула монотонності — класична теорема про мінімальні поверхні. Вона стверджує зокрема, що площа перетину мінімальної поверхні без межі з кулею з центром на поверхні не може бути менше площі кола того ж радіуса.

Формулювання

Припустимо $M$ є $k$-вимірна мінімальна поверхня в Евклідовому просторі і $p\in M$. Позначимо через $R$ мінімальну відстань від $p$ до межі $M$.

Тоді функція

$r\mapsto {\frac {\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))}{r^{m}}}$

монотонно зростає в інтервалі $[0,R]$; тут $\mathrm {S}$ позначає $k$-вимірну площу і $B_{r}(p)$ — кулю радіуса $r$ з центром в $p$.

Наслідки

• Для $M$, $p$ і $R$ як в формулюванні виконується нерівність

  $\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq \omega _{k}\cdot r^{m},$

при $r\leq R$; тут $\omega _{k}$ позначає об'єм одиничної кулі в $k$-вимірному евклідовому просторі.

• Більш того, якщо $p$ є точкою самопересеченія то

$\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq 2\cdot \omega _{k}\cdot r^{m},$

при $r\leq R$.

Застосування

• Еколм і Уайт застосували формулу монотонності в доведенні того, що мінімальна поверхня натягнута на контур з варіацією повороту 4π або менше є вкладеною.
• Бренді і Хунг застосували узагальнену формулу монотонності для оцінки площі перетину мінімальної поверхні з кулею центр якого знаходиться поза поверхнею.

Література

• S. Brendle, P.K. Hung. Area bounds for minimal surfaces that pass through a prescribed point in a ball // arXiv:1607.04631 [math.DG].

• Ekholm T., White B. Embeddedness of minimal surfaces with total boundary curvature at most 4π // Ann. Math.. — 2002. — P. 209–234.