Функція експоненційного типу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Графік сірої функції , обмежений функцією щільности нормального розподілу у просторі дійсних чисел. Щільність нормального розподілу не є експоненційного типу, але червона і синя функції є її односторонніми наближеннями експоненційного типу .

В комплексному аналізі, галузі математики, голоморфну функцію називають функцією експоненціального типу C, якщо її зростання обмежене експоненційною функцією , для деякої дійсної константи при . Якщо функція має таку властивість, то її можна виразити як певного роду збіжних сум рядів комплексних функцій, а також ясність щодо того, коли можна застосовувати такі прийоми, як сумування за Борелем, чи наприклад, застосувати перетворення Мелліна, або подати фукцію у вигляді розкладу Ейлера–Маклорена. У загальному випадку пояснюється теоремою Начбіна, яка визначає аналогічне поняття Ψ-типу в просторі всіх функцій порівняно з .

Основна ідея

[ред. | ред. код]

Кажуть, що функція , визначена на комплексній площині, є експоненційним типом, якщо існують дійсні константи і такі, що

при . Тут комплексна змінна записана у формі аби підкреслити, що границя має виконуватися в усіх напрямках . Якщо інфімум усіх таких , тоді кажуть, що функція має експоненційний тип .

Наприклад, нехай . Тоді кажуть що експоненційного типу , оскільки є найменшим числом, яке обмежує зростання вздовж уявної осі. Отже, у цьому прикладі не можна застосувати теорему Карлсона, оскільки для її застосування потрібно функції експоненційного типу менше . Подібним чином не можна застосовувати формулу Ейлера – Маклауріна, оскільки вона також виражає твердження, що базується на скінченних різниць.

Формальне означення

[ред. | ред. код]

Про голоморфну функцію кажуть, що вона експоненційного типу , якщо для кожного існує дійсне число , що

для де . Кажуть , що вона експоненційного типу, якщо експоненційного типу для якогось . Число

є експоненційним типом . Ця верхня границя означає границю супремуму відносини за межами заданого радіуса, як радіус прагне до нескінченності. Це теж межа, відмінний від максимального коефіцієнта в заданому радіусі, а радіус прагне до нескінченності. Верхня межа може існувати, навіть якщо максимуму на радіусі р не має меж, як Р йде в нескінченність. Наприклад, для функції

значення

при асимптотичному для , а тому прямує до нуля, при до нескінченності[1], проте все ж є експоненційним типом 1, у чому можна переконатись розглянувши точку .

Експоненційний тип відносно симетричного опуклого тіла

[ред. | ред. код]

Stein, (1957) узагальнив поняття експоненційний тип для цілої функції кількох комплексних змінних. Нехай опукла, компактна і симетрична підмножина . Відомо, що для кожної такої існує відповідна норма з властивістю

Тобто, одинична куля в за мірою . Множину

називають полярною множиною, яка також є опуклою, компактною та симетричною підмножиною . До того ж можемо записати

Довизначимо з до як

Про цілу функцію -комплексних змінних кажуть що вона експоненційного типу відносно якщо для кожного існує дійснозначна константа така, що

для всіх .

Простір Фреше

[ред. | ред. код]

Набір функцій експоненційного типу можуть утворювати повний рівномірний простір, а саме простір Фреше, до топологічно індукований зліченним сімейством норм

Див. також

[ред. | ред. код]
  • Теорема Пелі–Вінера
  • Пелі–Вінера простору

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Насправді, навіть прямує до нуля в точці при

Література

[ред. | ред. код]
  • Stein, E.M. (1957), Functions of exponential type, Ann. of Math., 2, 65: 582—592, doi:10.2307/1970066, JSTOR 1970066, MR 0085342