Рівномірний простір

У загальній топології поняття рівномірної структури і рівномірного простору дозволяють узагальнити такі поняття аналізу і, зокрема метричних просторів, як рівномірна збіжність, рівномірна неперервність, повнота на більш широкий клас топологічних просторів. Поняття вперше було введене у 1937 році французьким математиком Андре Вейлем.

Означення

За допомогою оточень

Рівномірним простором називається множина з заданою на ній рівномірною структурою. Рівномірною структурою на множині $X$ називається непуста сім'я $\Phi$ підмножин $U\subseteq X\times X$, які задовольняють такі аксіоми:

1. Якщо $U\in \Phi$, тоді $\Delta \subseteq U$, де $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$, тобто будь-яка множина містить діагональ.
2. Якщо $U\in \Phi$ і $U\subseteq V$ для $V\subseteq X\times X$, то також $V\in \Phi$.
3. Якщо $U\in \Phi$ і $V\in \Phi$, то $U\cap V\in \Phi$. Разом із попередньою властивістю це означає, що $\Phi$ є фільтром на $X\times X$.
4. Якщо $U\in \Phi$, то існує $V\in \Phi$, таке що $V\circ V\subseteq U$, де $V\circ U=\{(x,z):\exists y\in X:(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\}$.)
5. Якщо $U\in \Phi$, то $U^{-1}\in \Phi$, де $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$.

Елементи сім'ї $\Phi$ називаються оточеннями (іноді використовується французький термін антураж).

Фундаментальною системою оточень або базою оточень називається сім'я множин $B\subset \Phi$ така, що кожне оточення містить деяку множину з $B$

За допомогою системи покриттів

Рівномірна структура на множині $X$ може бути визначена також шляхом задання на $X$ системи покриттів, що задовольняє наступним аксіомам.

Рівномірним простором $(X,\Theta )$ називається множина $X$ із сім'єю покриттів $\Theta$, що називаються рівномірними покриттями і утворюють фільтр щодо так званого зірчастого упорядкування. За означенням для покриттів $P$ і $Q$:

$P<^{\star }Q\Leftrightarrow \forall A\in P\ \ \exists U\in Q:\,\forall B\in P:A\cap B\neq \emptyset \Rightarrow B\subseteq U$.

Аксіоматично сім'я покриттів $\Theta$ має задовольняти умови:

1. $\{X\}$ є рівномірним покриттям (тобто $\{X\}\in \Theta$).
2. Якщо $P<^{\star }Q$ і $P$ є рівномірним покриттям , то $Q$ теє є рівномірним покриттям.
3. Якщо $P$ і $Q$ є рівномірними покриттями, то існує таке рівномірне покриття $R$, що $R<^{\star }P$ і $R<^{\star }Q$.

Якщо рівномірна структура на $X$ задана системою оточень $\Phi$, то система $\Theta$ рівномірних покриттів $X$ може бути побудована так. Для будь-якого $V\in \Phi$ сім'я $\alpha (V)=\{V(x):x\in X)\}$ (де $V(x)=\{y:(x,y)\in V\}$) є покриттям $X$. Покриття $P$ належить $\Theta$ тоді і тільки тоді, коли $\alpha (V)<^{\star }P$ для деякого оточення $V\in \Phi$. Навпаки для системи рівномірних покриттів $\Theta$ систему оточень утворюють множини виду $\bigcup _{P}\{A\times A:A\in P\},\ P\in \Theta$ , і всілякі множини, що їх містять.

За допомогою псевдометрик

Рівномірні простори можна ввести за допомогою псевдометрик, що особливо часто використовується у функціональному аналізі. Для псевдометрики $f:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$, для різних додатних дійсних чисел $a$ множини $U_{a}=f^{-1}([0,a])$ утворюють фундаментальну систему оточень. Породжена цією фундаментальною системою оточень рівномірна система називається рівномірною системою породженою псевдометрикою $f.$

Для сім'ї псевдометрик $\{f_{i}\}_{i\in I}$ рівномірна структура породжена сім'єю $\{f_{i}\}$ за означенням є рівною точній верхній границі рівномірних структур породжених кожною псевдометрикою. Фундаментальна система оточень для такої рівномірної структури отримується за допомогою перетинів різних скінченних множин оточень заданих окремими псевдометриками.

Якщо сім'я псевдометрик є скінченною то породжена нею рівномірна структура може бути породженою єдиною псевдометрикою. Також якщо для рівномірної структури існує зліченна фундаментальна система оточень то вона може бути породженою єдиною псевдометрикою. В загальному випадку довільна рівномірна структура може бути породженою деякою (не обов'язково зліченною) сім'єю псевдометрик.

Приклади

• Будь-який метричний простір $(M,d)$ є рівномірним простором. Зокрема це випливає з того, що кожна метрика є псевдометрикою. Фундаментальною системою оточень є, наприклад, множини виду

  $\qquad U_{a}\triangleq d^{-1}([0,a])=\{(m,n)\in M\times M:d(m,n)\leq a\}.$

  Ця рівномірна структура на $M$ породжує звичайну топологію метричного простору на $M$. Натомість існує багато різних рівномірних структур, що породжують однакову топологію на $M$. Наприклад добутки метрик на скаляр породжують одну рівномірну структуру. Якщо рівномірна структура є породженою деякою метрикою, то вона називається метризовною. Рівномірна структура є метризовною тоді і тільки тоді коли вона має зліченну фундаментальну систему оточень.

• Нехай $d_{1}(x,y)=|x-y|$ — звичайна метрика на $\mathbb {R}$ і $d_{1}(x,y)=|e^{x}-e^{y}|$. Обидві метрики породжують стандартну топологію на $\mathbb {R}$, проте породжені ними рівномірні структури є різними, оскільки, наприклад, $\{(x,y):|x-y|<1\}$ є оточенням в рівномірній структурі для $d_{1}$ але не для $d_{2}$.

• Кожна топологічна група $G$ (зокрема, кожен топологічний векторний простір) є рівномірним простором якщо прийняти, що підмножина $V\subset G\times ;G$ є оточенням якщо і тільки якщо вона містить множину $\{(x,y):xy^{-1}\in U\}$ для деякого околу $U$ одиничного елемента групи $G$. Ця рівномірна структура на $G$ називається правою рівномірною структурою на $G$, оскільки для кожного елемента $a\in G$, праве множення $x\to xa$ є рівномірно неперервним щодо цієї рівномірної структура. Також можна ввести ліву рівномірну структуру на $G$; вони можуть не співпадати але породжують однакову топологію на $G$.
• Для кожної топологічної групи $G$ і її підгрупи $H$ множина лівих класів суміжності $G/H$ є рівномірним простором щодо рівномірної структури фундаментальну систему оточень якої утворюють множини ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\}$, де $U$ пробігає всі околи одиниці в $G$. Породжена топологія на $G/H$ при цьому є еквівалентною фактортопології відображення $G\to G/H$.

Топологія породжена рівномірною структурою

Будь-яка рівномірна структура $\Phi$ на множині $X$ породжує топологію. Її системою околів є $\forall x\in E,\ {\mathcal {V}}(x)=\{V(x)\}_{V\in \Phi }$.

• ${\mathcal {V}}(a)$ є непустою оскільки сім'я оточень є непустою. $a$ належить всім множинам із ${\mathcal {V}}(a)$, оскільки кожне оточення містить діагональ.
• Довільна множина, що містить елемент ${\mathcal {V}}(a)$ теж є елементом ${\mathcal {V}}(a)$ оскільки довільна множина, що містить оточення теж є оточенням.
• Усі елементи $A$ у ${\mathcal {V}}(a)$ містять множину $B$ з ${\mathcal {V}}(a)$ таку що $A$ є околом усіх точок мнодини $B$ :
  Припустимо, що $A=V(a)$ для деякого оточення $V$ і $B=W(a)$, для оточення $W$ для якого $W\circ W\subset V$. Тоді :
  • $B\subset A$ оскільки $W\subset W\circ W\subset V$ (те що $W$ є підмножиною $W\circ W$ випливає з того, що $W$ містить діагональ) ;
  • для всіх $b\in B$ і всіх $x\in W(b)$, $(a,x)\in W\circ W\subset V$ для $x\in A$ : тому, $A$ містить $W(b)$ і тому $A\in {\mathcal {V}}(b)$.
• Перетин двох елементів ${\mathcal {V}}(a)$ є елементом ${\mathcal {V}}(a)$ оскільки перетин двох оточень є оточенням.

Топологія з цією системою околів називається топологією породженою рівномірною структурою $\Phi$.

Якщо топологія породжується рівномірною структурою то вона є цілком регулярною (не обов'язково гаусдорфовою). Особливе значення має випадок коли ця топологія є гаусдорфовою. У термінах оточень еквівалентною умовою є коли перетин всіх оточень є рівним діагоналі множини. У термінах систем рівномірних покриттів еквівалентною умовою є те, що для довільних двох точок множини $X$ існує рівномірне покриття жодна множина якого не містить одночасно дві ці точки. Якщо топологія породжується рівномірною структурою то насправді всі ці умови випливають з того, що дана топологія є $T_{0}$-топологією. Рівномірна структура для якої справедливими є всі ці еквівалентні властивості називається віддільною.

Навпаки будь-яка цілком регулярна гаусдорфова топологія на $X$ породжується деякою віддільною рівномірною структурою.

Як правило, існує багато різних рівномірних структур, що породжують однакову топологію на $X$. Зокрема, метризовна топологія може породжуватися неметризовною віддільною рівномірною структурою.

Топологія компактного гаусдорфового простору $X$ завжди породжується рівномірною структурою. Ця структура є єдиною і є рівною системі околів простору $X\times X$.

Рівномірна неперервність

Відображення $f:X\to Y$ рівномірного простору $X$ в рівномірний простір $Y$ називається рівномірно неперервним, якщо для будь-якого рівномірного покриття $P$ простору $Y$ система $f^{-1}P=\{f^{-1}U:U\in P\}$ є рівномірним покриттям $X$. Еквівалентно, якщо прообраз будь-якого оточення в $Y$ є оточенням в $X$.

Будь-яке рівномірно неперервне відображення є неперервним відносно топології, породженої рівномірними структурами на $X$ і $Y$. Будь-яке неперервне відображення із компактного гаусдорфового простору (який має єдину неперервну структуру, що узгоджується з топологією) у рівномірний простір є рівномірно неперервним.

Якщо рівномірні структури на $X$ і $Y$ породжуються метриками, то рівномірно неперервне відображення $f:X\to Y$ є рівномірно неперервним в класичному сенсі як відображення метричних просторів.

Нехай $M$ — підмножина рівномірного простору $(X,\Phi )$. Система оточень $\Phi _{M}=\{(M\times M)\cap V:\,V\in \Phi \}$ визначає рівномірну структуру на $M$. Пара $(M,\Phi _{M})$ називається підпростором рівномірного простору $(X,\Phi )$. Відображення $f:X\to Y$ рівномірного простору $(X,\Phi )$ в рівномірний простір $(Y,\Phi ')$ називається рівномірним вкладенням, якщо $f$ є ін'єктивним, рівномірно неперервним і обернене відображення $f^{-1}:(fX,\Phi _{fX}')\to (X,\Phi )$ також є рівномірно неперервним.

Повнота

Рівномірний простір $X$ називається повним, якщо будь-який фільтр Коші $F$ в $X$ (тобто такий фільтр, що для кожного оточення $V\in \Psi$ існує множина $A\in F$, така що $(x,y)\in V$ для всіх $x,y\in A$) має границю. Метризовний рівномірний простір є повним тоді і тільки тоді, коли метрика, що породжує його рівномірну структуру є повною. Будь-яке рівномірно неперервне відображення із щільної підмножини рівномірного простору у повний рівномірний простір може бути продовжене до рівномірного відображення на усьому просторі.

Будь-який рівномірний простір $(X,\Psi )$ може бути рівномірно вкладений як всюди щільна підмножина в єдиний (з точністю до рівномірного ізоморфізму) повний рівномірний гаусдорфів простір $({\bar {X}},{\bar {\Psi }})$, який називається поповненням $(X,\Psi )$ і для якого існує вкладення $i:X\to {\bar {X}}$, таке що для будь якого рівномірного відображення $f:X\to Y$ між рівномірними просторами існує єдине рівномірне відображення $g:{\bar {X}}\to Y$, таке що $f=g\circ i$.

Топологія поповнення рівномірного простору $(X,\Psi )$ є компактною тоді і тільки тоді, коли неперервна структура є цілком обмеженою рівномірною структурою (тобто для будь-якого рівномірного покриття існує скінченне рівномірне покриття, що є меншим щодо зірчастого порядку). В цьому випадку поповнення є компактифікацією простору $X$ і називається розширенням Самюеля простору $X$ щодо рівномірної структури $\Psi$. Для будь-якої компактифікації $bX$ простору $X$ існує єдина цілком обмежена рівномірна структура на $X$, розширення Самюеля щодо якої збігається з $bX$.

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Isbell, John R. (1964). Uniform Spaces. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1512-1.
• James, I. M. (1990). Introduction to Uniform Spaces. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38620-9.
• James, I. M. (1987). Topological and Uniform Spaces. Undergraduate texts in mathematics. Springer. ISBN 0387964665.
• André Weil, Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale, Act. Sci. Ind. 551, Paris, 1937