Функції Бріллюена та Ланжевена

Функції Бріллюена та Ланжевена — дві спеціальні функції, що виникають під час вивчення ідеалізованого парамагнітного матеріалу в статистичної механіці.

Функція Бріллюена

Функція Бріллюена — спеціальна функція, яку визначають таким рівнянням:

$B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)$

Функцію зазвичай застосовують (див. нижче) в контексті, де х — дійсна змінна і J — додатне ціле чи напівціле число. В цьому випадку функція змінюється від -1 до 1, досягаючи +1, при $x\to +\infty$ і -1 при $x\to -\infty$.

Найчастіше застосовують при розрахунку намагніченості ідеального парамагнетику. Зокрема, функція описує залежність намагніченості $M$ від прикладеного магнітного поля $B$ і повного кутового моменту J матеріалу, що складається з мікроскопічних магнітних моментів. Намагніченість дається формулою:

$M=Ng\mu _{B}J\cdot B_{J}(x)$

де

• $N$ — кількість атомів на одиницю об'єму,
• $g$ — g-фактор,
• $\mu _{B}$ — магнетон Бора,
• $x$ — відношення зееманівської енергії магнітного моменту в зовнішньому полі до теплової енергії $k_{B}T$:

$x={\frac {g\mu _{B}JB}{k_{B}T}}$

де $k_{B}$ — стала Больцмана, $T$ — температура.

Зазначимо, що в Міжнародній системі одиниць (SI) індукція магнітного поля $B$ вимірюється в теслах, $B=\mu _{0}H$, де $H$ — напруженість магнітного поля в А/м, $\mu _{0}$ — магнітна стала.

Функція Ланжевена

У класичній границі, моменти можуть неперервно вишикуватися за полем і $J$ може набувати всіх значень ($J\to \infty$). У цій границі функція Бріллюена перетворюється на функцію Ланжевена, названу на честь Поля Ланжевена:

$L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}$

Для малих значень x, функцію Ланжевена можна розкласти в ряд Тейлора:

$L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots$

Альтернативну апроксимацію можна отримати з неперервного дробу Ламберта розкладу tanh(x):

$L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}$

За досить малих x, обидві апроксимації чисельно кращі, ніж пряма оцінка аналітичного виразу, оскільки остання страждає від втрати значущості.

Високотемпературна границя

При $x\ll 1$, тобто, коли $\mu _{B}B/k_{B}T$ мале, намагніченість можна апроксимувати законом Кюрі:

$M=C\cdot {\frac {B}{T}}$

де $C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}$ — стала. Можна відзначити, що $g{\sqrt {J(J+1)}}$ — ефективна кількість магнетонів Бора.

Границя високих полів

При $x\to \infty$ функція Бріллюена перетворюється на 1. Намагніченість насичується і магнітні моменти повністю вишиковуються в напрямку прикладеного поля:

$M=Ng\mu _{B}J$