Функції Бріллюена та Ланжевена
Функції Бріллюена та Ланжевена — дві спеціальні функції, що виникають під час вивчення ідеалізованого парамагнітного матеріалу в статистичної механіці.
Функція Бріллюена[1][2] — спеціальна функція, яку визначають таким рівнянням:
Функцію зазвичай застосовують (див. нижче) в контексті, де х — дійсна змінна і J — додатне ціле чи напівціле число. В цьому випадку функція змінюється від -1 до 1, досягаючи +1, при і -1 при .
Найчастіше застосовують при розрахунку намагніченості ідеального парамагнетику. Зокрема, функція описує залежність намагніченості від прикладеного магнітного поля і повного кутового моменту J матеріалу, що складається з мікроскопічних магнітних моментів. Намагніченість дається формулою:
де
- — кількість атомів на одиницю об'єму,
- — g-фактор,
- — магнетон Бора,
- — відношення зееманівської енергії магнітного моменту в зовнішньому полі до теплової енергії :
- де — стала Больцмана, — температура.
Зазначимо, що в Міжнародній системі одиниць (SI) індукція магнітного поля вимірюється в теслах, , де — напруженість магнітного поля в А/м, — магнітна стала.
У класичній границі, моменти можуть неперервно вишикуватися за полем і може набувати всіх значень (). У цій границі функція Бріллюена перетворюється на функцію Ланжевена, названу на честь Поля Ланжевена:
Для малих значень x, функцію Ланжевена можна розкласти в ряд Тейлора:
Альтернативну апроксимацію можна отримати з неперервного дробу Ламберта розкладу tanh(x):
За досить малих x, обидві апроксимації чисельно кращі, ніж пряма оцінка аналітичного виразу, оскільки остання страждає від втрати значущості.
При , тобто, коли мале, намагніченість можна апроксимувати законом Кюрі:
де — стала. Можна відзначити, що — ефективна кількість магнетонів Бора.
При функція Бріллюена перетворюється на 1. Намагніченість насичується і магнітні моменти повністю вишиковуються в напрямку прикладеного поля:
- ↑ Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1978. — С. 522
- ↑ Darby, M.I. Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization : [англ.] // Brit. J. Appl. Phys.[en] : журнал. — 1967. — Vol. 18, № 10. — С. 1415—1417. — Bibcode: 1967BJAP…18.1415D. — DOI:10.1088/0508-3443/18/10/307.