Характеристичний многочлен

Характеристичний поліном квадратної матриці $\ A$ розміру $\ n\times n$ — це многочлен степеня $\ n$ від змінної $\ \lambda ,$ який дорівнює

$\ p_{A}(\lambda )=\det(A-I_{n}\lambda )$, де $I_{n}$ — одинична матриця порядку $n$.

Мотивація

Скаляр $\lambda$ є власним значенням матриці A для власного вектора $\mathbf {v}$ тоді і тільки тоді коли:

$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,\,$

або

$(\lambda I_{n}-A)\mathbf {v} =0\,$

Оскільки $\mathbf {v} \neq 0,$ то $(\lambda I_{n}-A)$ повинна бути виродженою, а отже:

$\det(\lambda I_{n}-A)=0$.

Властивості

• Неважко переконатися, що

$p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}-\operatorname {tr} A\lambda ^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det A$

• Для матриць елементи яких комутативними є $\mathbb {Q}$-алгебрами, характеристичний многочлен можна записати як:

  $p_{A}(\lambda )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}q_{n-i}{\Bigl (}\operatorname {tr} A,\operatorname {tr} A^{2}\ldots ,\operatorname {tr} A^{n-i}{\Bigr )}\lambda ^{i},$

  де $q_{n-i}$— многочлени із раціональними коефіцієнтами, що описують залежність елементарних симетричних многочленів від степеневих симетричних многочленів у тотожностях Ньютона (тобто $e_{j}=q_{j}(p_{1},...p_{j}).$)

• Характеристичні поліноми подібних матриць збігаються:

$\ p_{B^{-1}AB}(\lambda )=p_{A}(\lambda )$

• Характеристичні поліноми добутку квадратних матриць не залежать від порядку множників:

$\ p_{BA}(\lambda )=p_{AB}(\lambda )$

• Характеристичний поліном від самої матриці дорівнює нульовій матриці (теорема Гамільтона — Келі):

$\ p_{A}(A)=0.$

Характеристичне рівняння

Характеристичним рівнянням (або секулярним рівнянням; така назва пов'язана з тим, що це рівняння зустрічається при дослідженні столітніх збурень планет; з латині: `saeculum' --- століття.) називається рівняння

$\ p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=0$

Корені характеристичного полінома називаються характеристичними числами матриці $A.$

Тільки вони є власними значеннями матриці $A.$

Див. також

• Визначник матриці
• Слід матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 240 с.(укр.)