Хемікомпактний простір

У математиці топологічний простір $X$ називається хемікомпактним якщо у ньому є зліченна послідовність компактних підмножин $K_{n}$ і для довільної компактної підмножини $K\subset X$ також $K\subset K_{n}$ для деякого n. Оскільки кожна одноточкова множина є компактною, то об'єднання елементів $K_{n}$ є рівним усьому простору $X$ .

Приклади

• Будь-який компактний простір є хемікомпактним.
• Дійсні числа із стандартною топологією утворюють хемікомпактний простір.
• Будь-який локально компактний простір Ліндельофа є хемікомпактним.

Властивості

• Кожний хемікомпактний простір є σ-компактним. Якщо для нього також виконується перша аксіома зліченності то він є локально компактним.
• Для локально компактних просторів такі умови є еквівалентними:

1. $X$ є хемікомпактним простором
2. $X$ є простором Ліндельофа,
3. $X$ є σ-компактним простором,
4. для $X$ існує зліченне покриття компактними множинами $K_{i},$ що $K_{i}\subseteq {\mbox{Int}}\,K_{i+1}$ для всіх $i$
5. $X$ є компактним простором або точка $\infty$ у його одноточковій компактифікації має зліченну базу околів.

• Якщо $X$ є хемікомпактним простором, то множина $C(X,M)$ усіх відображень $f:X\to M$ у метричний простір $(M,\delta )$ із компактно-відкритою топологією є метризовним. Нехай $K_{1},K_{2},\dots$ є послідовністю компактних підмножин $X$ із означення хемікомпактності. На просторі $X$ можна задати псевдометрики:

$d_{n}(f,g)=\sup _{x\in K_{n}}\left|f(x)-g(x)\right|,\quad f,g\in C(X,M),n\in \mathbb {N} .$

Тоді

$d(f,g)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\frac {d_{n}(f,g)}{1+d_{n}(f,g)}}$

є метрикою на $C(X,M),$ яка породжує компактно-відкриту топологію.

Див. також

• Компактний простір
• Локально компактний простір
• Простір Ліндельофа

Література

• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.
• Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Т. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.