Центр (алгебра)

У алгебрі центром деякої алгебричної структури називають множину елементів, що комутують з усіма іншими щодо деякої операції.

Центр напівгрупи (моноїда, групи)

Докладніше: Центр групи

Якщо $G$ є напівгрупою, моноїдом чи групою. Тоді центр відповідної структури задається як

\mathrm {Z} (G):=\{z\in G\mid \forall g\in G:gz=zg\}.

$Z(G)$ є комутативною піднапівгрупою, підмодоїдом чи підгрупою.

Елементами центру кільця R є елементи, що комутують відносно множення з усіма елементами кільця:

\mathrm {Z} (R)=\{z\in R\mid za=az\ \forall \ a\in R\}.

Центр $Z(R)$ комутативним підкільцем кільця R. Кільце є комутативним тоді і тільки тоді, коли воно є рівним своєму центру.

Центром асоціативної алгебри називається підалгебра елементи якої комутують з усіма елементами алгебри:

\mathrm {Z} (A)=\{z\in A\mid za=az\ \forall \ a\in A\}.

Алгебра є комутативною тоді і тільки тоді, коли вона є рівною своєму центру.

Центр алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ є комутативним ідеалом і визначається як:

{\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})=\{Z\in {\mathfrak {g}}\mid [X,Z]=0\ \forall \ X\in {\mathfrak {g}}\}

,

де $[\cdot ,\cdot ]$ позначає дужки Лі у алгебрі ${\mathfrak {g}}$ .

Центром загальної лінійної групи $\mathrm {GL} (n,K)$ є множина скалярних ненульових матриць:

Z\left(\mathrm {GL} (n,K)\right)=\{\lambda E_{n}\colon \lambda \in K^{*}\}

.

Для асоціативної алгебри із комутатором як дужкою Лі обидва поняття центру є еквівалентними.