Циклогон
Циклогон — крива, окреслена вершиною многокутника, який котиться без ковзання по прямій.[1][2] Щодо характеру многокутника обмежень немає. Це може бути правильний многокутник, наприклад рівносторонній трикутник або квадрат. Многокутник не обов'язково має бути опуклим: це може бути навіть зіркоподібний многокутник[джерело?]. У загальнішому плані також розглядають криві, прокреслені точками, відмінними від вершин. У таких випадках вважають, що точка трасування жорстко прикріплена до многокутника[джерело?]. Якщо точка трасування розташована за межами многокутника, то криву називають витягнутим циклогоном, а якщо вона лежить всередині многокутника — кривоподібним циклогоном[джерело?].
Коли кількість сторін правильного многокутника збільшується до нескінченності, циклогон стає циклоїдою.[3]
Площа циклогона має цікаву властивість.[3] Нехай A — площа області між прямою та однією з дуг, P — площа многокутника, який котиться, та C — площа круга, обмеженого описаним навколо многокутника колом. Для кожного циклогона, утвореного правильним многокутником,
 |
 |
Циклогон виникає, коли многокутник котиться по прямій. Припустимо, що правильний многокутник перекочується сторнами іншого многокутника. Нехай також точка трасування лежить не на межі многокутника, а всередині нього або поза ним, але в площині многокутника. У цій загальнішій ситуації нехай криву описує точка z на правильному многокутному диску[прояснити] з n сторонами, що обертається навколо іншого правильного многокутного диска з m сторін. Нехай сторони цих многокутників мають однакову довжину. Точка z, жорстко прикріплена до n-кутника, викреслить лінію, що складається з n дуг кіл, перш ніж почне періодично повторюватися. Цю криву називають трохогоном — епітрохогоном, якщо n-кутник котиться поза m-кутником, і гіпотрохогоном, якщо він котиться всередині m-кутника. Трохогон є вигнутим[прояснити], якщо z дежить усередині n-кутника, і витягнутим[прояснити] (з петлями), якщо z лежить поза n-кутником. Якщо z збігається з вершиною, то утворюється епіциклогон або гіпоциклогон.[4]
- ↑ Tom M. Apostol, Mamikon Mnatsakanian (2012). New Horizons in Geometry. Mathematical Association of America. с. 68. ISBN 9780883853542.
- ↑ Ken Caviness. Cyclogons. Wolfram Demonstrations Project. Процитовано 23 грудня 2015.
- ↑ а б T. M. Apostol and M. A. Mnatsakanian (1999). Cycloidal Areas without Calculus (PDF). Math Horizons. 7 (1): 12—16. doi:10.1080/10724117.1999.12088451. Архів оригіналу (PDF) за 30 січня 2005. Процитовано 23 грудня 2015.
- ↑ Tom M. Apostopl and Mamikon A. Mnatsaknian (September 2002). Generalized Cyclogons (PDF). Math Horizons. Архів оригіналу (PDF) за 30 січня 2005. Процитовано 23 грудня 2015.