Епіциклоїда

Епіцикло́їда (від грец. ὲπί — на, над, при і κυκλος — коло) — плоска крива, що утворюється фіксованою точкою кола, яке котиться без ковзання по зовнішній стороні іншого нерухомого кола.

Червона крива є епіциклоїдою, що утворена точкою кола (радіус r = 1 ), що котиться по нерухомому колу (радіус R = 3 ).

Рухоме коло називається твірним, нерухоме коло — напрямним. ^{:стор.806}

Початковою точкою епіциклоїди називається така її точка $P$, що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від $C$, що і точка опори. ^{:стор.805} Початкові точки є каспами (простими точками звороту) епіциклоїди. Початкові точки епіциклоїди лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

Вершиною епіциклоїди називається така її точка $V$, що лежить на прямій, яка проходить через центр $C$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від $C$. ^{:стор.806}

Будь-яка епіциклоїда має однакову кількість вершин і каспів.

Епіциклоїда є окремим випадком епітрохоїди а також рулети — кривої, що отримана як траекторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.

Окремим випадком епіциклоїди є кардіоїда (епіциклоїда з одним каспом) та нефроїда (епіциклоїда з двома каспами).

Граничні випадки епіциклоїди:

• Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченності ($R\to \infty$), крива стає циклоїдою з тим же радіусом твірного кола. ^{:стор.814}
• Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченности ($r\to \infty$), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою цієї прямої, є евольвентою кола.

Рівняння

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, його радіус дорівнює $R$, а радіус кола, що котиться по ньому дорівнює $r$, то епіциклоїда описується параметричними рівняннями відносно $\varphi$:

${\begin{cases}x(\varphi )=(R+r)\cos \varphi -r\cos({\frac {R+r}{r}}\varphi )\\y(\varphi )=(R+r)\sin \varphi -r\sin({\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&0\leq \varphi \leq 2\pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&0\leq \varphi \leq 2r\cdot \pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&0\leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}$

При цьому початкова точка епіциклоїди, її касп, з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі $Ox$.

Кут $\varphi$ — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі $Ox$.

Параметричне рівняння повернутої відносно початку координат епіциклоїди має вигляд:

${\begin{cases}x(\varphi )=(R+r)\cos \varphi -r\cos({\frac {R+r}{r}}\varphi -\alpha )\\y(\varphi )=(R+r)\sin \varphi -r\sin({\frac {R+r}{r}}\varphi -\alpha )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2\pi +{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2r\cdot \pi +{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}$

При цьому епіциклоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут $\beta ={\frac {r}{R}}\cdot \alpha$ (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку епіциклоїди (її касп, з якого починається утворення кривої) з початком координат, та віссю $Ox$ дорівнює ${\frac {r}{R}}\cdot \alpha$.

Можна ввести величину $\textstyle k={\frac {R}{r}}$, тоді параметричні рівняння звичайної (неповернутої) епіциклоїди приймуть вигляд:

${\begin{cases}&x(\varphi )=r\cdot \left((k+1)\cos \varphi -\cos \left((k+1)\varphi \right)\right)\\&y(\varphi )=r\cdot \left((k+1)\sin \varphi -\sin \left((k+1)\varphi \right)\right).\end{cases}}$

Величина $k$ визначає форму епіциклоїди (див. нижче).

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі:

$z(\varphi )=r\cdot \left((k+1)e^{i\varphi }-e^{i(k+1)\varphi }\right)$

де

• кут $\varphi \in [0,2\pi ]$ ;
• радіус твірного (рухомого) кола $r$;
• радіус напрямного (нерухомого) кола $R=kr$.

Рівняння Чезаро для епіциклоїди має вигляд: ^{:стор.819}

${\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(\ell -b)^{2}}{b^{2}}}=1$

де
$a={\frac {4r\cdot (R+r)}{R+2r}}$ , $b={\frac {4r\cdot (R+r)}{R}}$
$\rho$ — радіус кривини епіциклоїди в певній точці;
$\ell$ — довжина дуги епіциклоїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість епіциклоїди:
Якщо дуга епіциклоїди котиться без ковзання по прямій $AB$, то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої $AB$, через яку прокочується вершина епіциклоїди; одна з напіввісей збігається з прямою $AB$ і по довжині дорівнює половині арки епіциклоїди, а саме: ${\frac {4r\cdot (R+r)}{R}}$. Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: ${\frac {4r\cdot (R+r)}{R+2r}}$. ^{:стор.819}

Властивості та особливості форми

• Будь-яка епіциклоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами $R$ та $R+2r$.
  

На першому з них лежать каспи, а на другому — вершини епіциклоїди.

• При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) $O$ на кут, кратний $2\pi \cdot {\frac {r}{R}}$, епіциклоїда суміщається сама з собою. ^{:стор.812}
• Якщо $k$ — натуральне число, то епіциклоїда є замкненою алгебричною кривою $2(k+1)$ порядку;
  

Крива складається з $k$ конгруентних арок, а отже, має $k$ вершин та каспів (тобто точок зворотів).
Точок самоперетину не має.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить (k + 1) повних обертів навколо свого центру.

• Якщо $k={\frac {p}{q}}$ — раціональне число, виражене у вигляді нескоротного дроба, то епіциклоїда є замкненою алгебричною кривою $2\cdot |p+q|$ порядку;
  

Крива складається з $p$ конгруентних арок, а отже, має $p$ вершин та каспів.
Крива має $p\cdot (q-1)$ точок самоперетину.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить (p + q) повних обертів навколо свого центру.

• Якщо $k$ — ірраціональне число, то епіциклоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість арок, вершин та каспів.
• Епіциклоїда має однакову кількість вершин та каспів;
• Будь-яка епіциклоїда з радіусами нерухомого та рухомого кіл $R$ та $r$ тотожна з гіпоциклоїдою (точніше гіпоциклоїдою, що належить до типу перициклоїд) з радіусами нерухомого та рухомого кіл $R$ та $R+r$. ^{:стор.816}
• Властивість нормалі та дотичної
  

Нормаль, що проведена через будь-яку точку $M$ епіциклоїди, проходить через відповідну точку дотику $E$ твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл.
Дотична до епіциклоїди в деякій її точці $M$, проходить через точку $E'$ напрямного кола, діаметрально протилежну до точки $E$. ^{:стор.817}

Метричні характеристики

• Довжина дуги епіциклоїди між точками, що відповідають полярним кутам $0\leq \varphi \leq \varphi _{1}$: ^{:стор.818}

$\ell ={\frac {8r\cdot (R+r)}{R}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {R}{4r}}\cdot \varphi _{1}\right).$

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки епіциклоїди дорівнює:

$\ell =8r\cdot \left(1+{\frac {r}{R}}\right)$

Якщо $k={\frac {R}{r}}$ — натуральне число, то довжина $\ell$ всієї епіциклоїди:

$\ell =8(k+1)\cdot r$

• Площа сектора епіциклоїди між точками, що відповідають полярним кутам $0\leq \varphi \leq \varphi _{1}$: ^{:стор.820}

$S={\frac {(R+r)(R+2r)}{2}}\cdot \left(\varphi _{1}-{\frac {r}{R}}\cdot \sin \left({\frac {R}{r}}\cdot \varphi _{1}\right)\right).$

Площа сектора, що описується полярним радіусом $OM$ епіциклоїди, коли точка $M$ пробігає одну її арку: ^{:стор.820}

$S_{1}={\frac {\pi \cdot r(R+r)(R+2r)}{R}}$

Площа відповідного сектора напрямного (нерухомого) круга: $S_{2}=\pi \cdot r\cdot R$.

Таким чином, площа фігури, що обмежена однією аркою епіциклоїди та відповідною дугою напрямного кола, дорівнює

$S=|S_{1}-S_{2}|=\pi r^{2}\cdot |3+2{\frac {r}{R}}|$

Якщо $k={\frac {R}{r}}$ — натуральне число, то площа $S$ фігури, що обмежена повною епіциклоїдою:

$S=(k+1)(k+2)\cdot \pi r^{2}=\pi \cdot (R+r)(R+2r)$

Це означає, що фігура, обмежена епіциклоїдою в ${\frac {(k+1)(k+2)}{k^{2}}}$ разів більша за площею, від площі напрямного круга.

• Радіус кривини будь-якої епіциклоїди в деякій її точці $M$, що відповідає полярному куту $\varphi$:

$\rho ={\frac {4r\cdot (R+r)}{R+2r}}\cdot \sin \left({\frac {R}{2r}}\cdot \varphi \right),$

Цю формулу можна записати у вигляді: ^{:стор.817}

$\rho =2\cdot ME\cdot {\frac {R+r}{R+2r}},$

де $ME$ — відрізок, що сполучає точку $M$ епіциклоїди і точку опори $E$ твірного кола.

В точках звороту епіциклоїди радіус кривини дорівнює $\rho =0,$
В вершинах епіциклоїди радіус кривини дорівнює $\rho ={\frac {4r\cdot (R+r)}{R+2r}}.$

• Епіциклоїда та її еволюта подібні.

Відношення подібності складає ^{:стор.818} $R:(R+2r).$ Еволюта має той же центр, що і початкова епіциклоїда. Вершини еволюти збігаються з каспами початкової кривої. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану епіциклоїду на кут $\pi \cdot {\frac {r}{R}}$, а потім відповідно маштабувавши її.

• Епіциклоїда при різних значеннях параметра k:
• 
  k = 1; (кардіоїда)
• 
  k = 2; (нефроїда)
• 
  k = 3;
• 
  k = 4;
• 
  k = 2.1 = 21/10
• 
  k = 3.8 = 19/5
• 
  k = 5.5 = 11/2
• 
  k = 7.2 = 36/5

Див. також

• Рулета
• Список періодичних функцій

Література

• Епіциклоїда // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 161, 168—170, 175. ISBN 978-0-486-60288-2.
• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Епіциклоїда(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Epicycloid [Архівовано 24 листопада 2010 у Wayback Machine.], MathWorld
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Epicycloid в архіві MacTutor (англ.)
• Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET Епіциклоїда на сайті [Mathcurve] , 2017
• Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
• Spirograph -- GeoFun
• Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth