Чотирикратна взаємодія

Чотирикратну взаємодію представляють у вигляді потенціального доданку $-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}$, що додається до лагранжіану, де φ — скалярне поле, що задовольняє рівняння Клейна — Ґордона. Константа зв'язку λ в 4-вимірному просторі-часі безрозмірна. Далі в статті використовується метрика Мінковського з сигнатурою (+ — — -).

Лагранжіан

Лагранжіан дійсного скалярного поля записують у вигляді:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.$

Для копмлексного поля:

${\mathcal {L}}=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -{\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{*}\phi )^{2}.$

Для N дійсних скалярних полів можна отримати φ⁴-модель з глобальною SO(N)-симетрією:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi _{a}\partial _{\mu }\phi _{a}-{\frac {m^{2}}{2}}\phi _{a}\phi _{a}-{\frac {\lambda }{8}}(\phi _{a}\phi _{a})^{2}.$

Виконуючи продовження комплексного поля на дійсну та уявну частини можна показати еквівалентність до SO(2)-моделі дійсного скалярного поля.

У всіх вищезазначених моделях константа зв'язку λ повинна бути дійсною та додатньою. Дійсною для забезпечення унітарності. А додатньою для того, щоб існувала нижня границя енергії, тобто, щоб існував стабільний вакуум. В 4-вимірному просторі φ⁴-теорії мають полюси Ландау. Це означає, що без обрізання на великих масштабах енергії ренормалізація робитиме теорії тривіальною.

Ренормалізація

Інтеграли над довільним моментами, так звані петлеві інтеграли, згідно діаграми Фейнмана, розходяться. Це залежить від ренормалізації, що являє собою процедуру додавання до лагранжіану збіжних контр-членів таким чином, що діаграми, побудовані з вихідного лагранжіану та контр-членів, є фінітними. Масштаб ренормалізації повинен бути відображеним в процесі і константа взаємодії та маса стають від нього залежними. Це саме та залежність, що призводить до появи, вже згаданих вище, полюсів Ландау і вимагає, щоб обрізання зберігало скінченність. Проте, якщо обрізання дозволяє нескінченність, полюс Ландау буде лише тоді, коли константа ренормування прямує до нуля, роблячи теорію тривіальною.

Спонтанне порушення симетрії

Цікава ситуація виникає, коли квадрат маси m² від'ємний, а λ додатне. В такому випадку вакуум складається з двох станів з найнижчою енергією, кожен з яких спонтанно порушує Z₂ симетрію вихідної теорії. Це призводить до виникнення цікавих колективних станів типу доменних стін. В O(2)-теорії вакууми можуть лежати на колі і вибір одного з них спонтанно порушуватиме O(2)-теорію. Неперервно порушена симетрія призводить до виникнення Ґолдстоунівських бозонів. Цей варіант спонтанного порушення симетрії є суттєвою складовою механізму Хіггса.

Див. також

• Теорія скалярного поля
• Квантова тривіальність
• Полюс Ландау
• Перенормування
• Механізм Хіггса
• Бозон Ґолдстоуна

Література

• 't Hooft, G., «The Conceptual Basis of Quantum Field Theory» (online version [Архівовано 8 грудня 2005 у Wayback Machine.]).
• Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press.
• Zuber, Jean-Bernard (2006-02-24). Quantum Field Theory.