Шлях (топологія)

Точка, переміщена з A в B у просторі R2. Однак інші шляхи можуть проходити ту саму множину точок.

У математиці шлях в топологічному просторі X — це безперервне відображення f з одиничного відрізка I = [0,1] в X

f : I → X.

Початковою точкою шляху є f(0), а кінцевою точкою — f(1). Часто говорять про «шлях з x в y», де x і y — початкова і кінцева точки шляху. Зауважимо, що шлях — це не просто підмножина X, яка «виглядає як» крива, він також включає параметризацію. Наприклад, відображення f(x) = x і g(x) = x² представляють два різні шляхи від 0 до 1 на дійсній прямій.

Петля в просторі X з базовою точкою x ∈ X — це шлях з x в x. Петля може також бути визначена як відображення f : I → X з f(0) = f(1) або як неперервне відображення одиничного кола S¹ в X

f : S¹ → X.

Останнє випливає з того, що S¹ можна вважати фактор-простором I при ототожненні 0 з 1. Множина всіх петель на X утворює простір, який називається простором петель простору X.

Топологічний простір, в якому існує шлях, що з'єднує будь-які дві точки, називається лінійно зв'язаним. Будь-який простір можна розбити на множину лінійно зв'язаних компонент. Множина лінійно зв'язаних компонент простору X часто позначається π₀(X);.

Можна також визначити шляхи і петлі в пунктованих просторах, які важливі в теорії гомотопій. Якщо X є топологічним простором з виділеною точкою x₀, то шлях в X — це шлях, початковою точкою якого є x₀. Подібним чином петля в X — це петля в точці x₀.

Гомотопія шляхів

Гомотопія між двома шляхами.

Шляхи і петлі є центральними об'єктами вивчення гілки алгебраїчної топології, званої теорією гомотопій. Гомотопія шляхів робить точним поняття неперервної деформації шляху при збереженні кінців шляху.

Зокрема, гомотопія шляхів у X — це сімейство шляхів f_t : I → X індексованих за I, таких що

• f_t(0) = x₀ і f_t(1) = x₁ фіксовані.
• відображення F : I × I → X, задане F(s, t) = f_t(s) є неперервним.

Кажуть, що шляхи f₀ і f₁ гомотопні (або, точніше, лінійно-гомотопні), якщо вони пов'язані гомотопією. Можна аналогічним чином визначити гомотопію петель, яка зберігає базову точку.

Відношення гомотопії є відношенням еквівалентності шляхів у топологічному просторі. Клас еквівалентності шляху f при цьому називається класом гомотопії f, і часто позначається [f].

Означення

Два шляхи $z_{0}(t):J\to D$ і $z_{1}(t):J\to D$ зі спільним початком та кінцем $z_{0}(0)=z_{1}(0)=a$ і $z_{0}(1)=z_{1}(1)=b$ називаються гомотопними в області $D$, якщо існує неперервне відображення $z(s,t):J\times J\to D$ (через $J\times J$ ми позначимо добуток відрізків, тобто квадрат $0\leq s\leq 1,0\leq t\leq 1$) так, що

$z(0,t)\equiv z_{0}(t),\,\,\,z(1,t)\,\,\,\equiv z_{1}(t)\,\,\ (t\in J),$

$z(s,0)\equiv a,\,\,\,z(s,1)\equiv b\,\,\,(s\in J).$

Композиція шляхів

Можна утворити композицію шляхів у топологічному просторі очевидним чином. Нехай f — шлях з x в y, а g — шлях з y в z. Шлях fg визначається як шлях, одержуваний спочатку проходом f, а потім g:

$fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}$

Ясно, що композиція шляхів визначена тільки у випадку, коли кінцева точка f збігається з початковою точкою g. Якщо розглядати петлі в точці x₀, то композиція шляхів є бінарною операцією.

Композиція шляхів, якщо вона визначена, не є асоціативною операцією з огляду на відмінності в параметризації. Проте вона є асоціативною з точністю до гомотопії. Тобто [(fg)h] = [f(gh)]. Композиція шляхів визначає структуру групи на множині гомотопних класів петель на X з базовою точкою x₀. Результуюча група називається фундаментальною групою X із позначеною точкою x₀ і зазвичай позначається π₁(X,x₀).

Можна визначити шлях в X як безперервне відображення інтервалу [0,a] X для будь-якого дійсного a ≥ 0. Шлях f цього виду має довжину |f|, визначається як a. Композиція шляхів тоді визначається, як і раніше, з такою зміною:

$fg(s)={\begin{cases}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g|\end{cases}}$

У той час як у попередньому визначенні f, g і fg мають довжину 1, дане визначення дає |fg| = |f| + |g|. В попередньому визначенні призводило до порушення асоціативності те, що хоча (fg)h і f(gh) мали одну довжину, а саме 1, середня точка (fg)h виявлялася між g і h, у той час як середня точка f(gh) виявлялася між f і g. У модифікованому визначенні (fg)h і f(gh) мають однакову довжину, а саме |f|+|g|+|h|, і ті ж самі середні точки, які знаходяться в (|f|+|g|+|h|)/2, як для (fg)h, так і для f(gh). І навіть вони мають одну і ту саму параметризацію.

Фундаментальний групоїд

Будь-який топологічний простір X дає початок категорії, об'єктами якої є точки X, а морфізмами є класи гомотопії шляхів. Оскільки будь-який морфізм у цій категорії є ізоморфізмом, ця категорія є групоїдом, званим фундаментальним групоїдом X. Петлі в цій категорії є ендоморфізмами (всі вони насправді є автоморфізмами). Група автоморфізмів точки x₀ в X — це просто фундаментальна група в X. Можна визначити фундаментальний групоїд на будь-якій підмножині A в X, використовуючи класи гомотопій шляхів, що з'єднують точки A.

Див. також

• Петля (топологія)

Література

• Ronald Brown. Topology and groupoids. — Deganwy, United Kingdom, 2006. — ISBN 1-4196-2722-8.

• Peter May. A concise course in algebraic topology. — Chicago, IL : University of Chicago Press, 1999. — ISBN 10: 0226511820 13: 9780226511825.

• James R. Munkres. Topology. — 2ed. — N.J. : Prentice Hall, 2000. — ISBN 0-13-181629-2.
• John Frank Adams. Infinite Loop Spaces. — Princeton University Press, 1978. — Т. 90. — (Annals of mathematics studies). — ISBN 9780691082066.
• О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. Элементарная топология. — М. : МЦНМО, 2010. — ISBN 978-5-94057-587-0.