M-матриця

M-матриця — квадратна матриця, у якої всі елементи поза головною діагоналлю, не перевищують нуля (тобто вона є Z-матрицею) та всі власні значення мають невід'ємні дійсні частини.

Невироджені M-матриці є підмножиною P-матриць та підмножиною матриць, у яких обернена матриця є додатною матрицею.

Названа на честь Германа Мінковського, який довів, що якщо в Z-матриці суми елементів в кожному рядку додатні, то визначник цієї матриці теж додатний.

Означення

Нехай квадратна матриця $A$ є дійсною Z-матрицею. Тоді матриця $A$ є M-матрицею якщо її можна подати у вигляді $A=sI-B$, де $B$ — невід'ємна матриця, $s$ не менше ніж максимум модулів власних значень матриці $B$, а $I$ — одинична матриця.

Див. також

• Теорема Перрона — Фробеніуса

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)