P-матриця

P-матриця — комплексна квадратна матриця, у якої всі головні мінори більше нуля.

Пов'язаним поняттями є $P_{0}$-матриця, множина яких є замиканням множини P-матриць, де кожен головний мінор $\geq$ 0.

Спектр P-матриць

За теоремою Келлога, власні значення $P$-матриць та $P_{0}$-матриць знаходяться в певних межах відносно від'ємної дійсної осі:

Якщо $\{u_{1},...,u_{n}\}$ власні значення n-вимірної P-матриці, де $n>1$, то

$|\arg(u_{i})|<\pi -{\frac {\pi }{n}},\ i=1,...,n$

Якщо $\{u_{1},...,u_{n}\}$, $u_{i}\neq 0$, $i=1,...,n$ власні значення n-вимірної $P_{0}$-матриці, то

$|\arg(u_{i})|\leq \pi -{\frac {\pi }{n}},\ i=1,...,n$

Властивості

• Невироджені M-матриці є підмножиною P-матриць. Точніше, якщо матриця є одночасно P-матрицею та Z-матрицею, то вона є M-матрицею.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)