Інтегральна показникова функція

Не плутати з іншими інтегралами експоненціальних функцій.

У математиці експоненціальний інтеграл Ei — це спеціальна функція на комплексній площині. Він визначається як певний визначений інтеграл від відношення експоненціальної функції та її аргументу.

Означення

Ділянка функції $\operatorname {E} _{1}$ (згори) та функції $\operatorname {Ei}$ (знизу).

Для дійсних ненульових значень $x$ експоненціальний інтеграл Ei($x$) визначається як

$\operatorname {Ei} (x)=-\int \limits _{-x}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,{\rm {d}}t$.

Алгоритм Ріша показує, що Ei не є елементарною функцією. Вищенаведене означення може бути використане для додатних значень $x$, але інтеграл слід розуміти у термінах головного значення за Коші через особливість підінтегральної функції в нулі.

Для комплексних значень аргументу означення стає неоднозначним через точки розгалуження у 0 та $\infty$. Замість Ei використовується наступне позначення,

$\operatorname {E} _{1}(z)=\int \limits _{z}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,{\rm {d}}t,\qquad |\operatorname {Arg} (z)|<\pi$

(зауважимо, що для додатних значень $x$: $-\operatorname {E} _{1}(x)=\operatorname {Ei} (-x)$).

Загалом, розгалуження здійснюється по від'ємній дійсній осі, і $\operatorname {E} _{1}$ можна визначити за допомогою аналітичного продовження на комплексну площину.

Для додатних значень дійсної частини $z$ це можна записати як

$\operatorname {E} _{1}(z)=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-tz}}{t}}\,{\rm {d}}t=\int \limits _{0}^{1}{\frac {{\rm {e}}^{-{z/u}}}{u}}\,{\rm {d}}u,\qquad \operatorname {Re} (z)\geqslant 0.$

Поведінка $\operatorname {E} _{1}$ біля точки розгалуження визначається наступним співвідношенням:

$\lim _{\delta \to 0+}\operatorname {E} _{1}(-x\pm i\delta )=-\operatorname {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0.$

Властивості

Декілька властивостей експоненціального інтегралу, що наведені нижче, у деяких випадках дозволяють уникнути його явного оцінювання через вищенаведене означення.

Збіжний ряд

Для дійсних або комплексних аргументів, які знаходяться поза від'ємною дійсною віссю, $\operatorname {E} _{1}(z)$ може бути виражений як

$\operatorname {E} _{1}(z)=-\gamma -\ln {z}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{(-z)}^{k}}{kk!}},\qquad |\operatorname {Arg} (z)|<\pi ,$

де $\gamma$ — константа Ейлера–Маскероні. Ряд збігається для всіх комплексних $z$, і ми беремо звичайне значення комплексного логарифма, який має розгалуження вздовж від'ємної дійсної осі.

Ця формула може бути використана для обчислення $\operatorname {E} _{1}(x)$ в операціях з плаваючою комою для дійсного $x$ між $0$ та $2{,}5$. Для $x>2{,}5$ результат неточний через втрату значущості.

Ряд який збігається швидше знайшов Рамануджан:

$\operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln {x}+\exp \left({\frac {x}{2}}\right)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.$

Даний збіжний ряд може використовуватися для отримання асимптотичних оцінок, наприклад,

$1-{\frac {3x}{4}}\leq \operatorname {Ei} (x)-\gamma -\ln {x}\leq 1-{\frac {3x}{4}}+{\frac {11x^{2}}{36}}$

для $x\geq 0$.

Асимптотичний (розбіжний) ряд

Відносна похибка асимптотичного наближення для різного числа $N$ доданків в усічений сумі ($N=1$ — червона лінія, $N=5$ — рожева лінія).

На жаль, збіжність рядів що наведені вище є повільною для великих за модулем аргументів. Наприклад, для $x=10$ потрібно більше 40 членів, щоб для $\operatorname {E} _{1}(z)$ отримати у відповіді перші три правильні цифри. Однак існує апроксимація розбіжним рядом, який можна отримати інтегруючи $ze^{z}\operatorname {E} _{1}(z)$ частинами:

$\operatorname {E} _{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}$

з похибкою порядку $O{\big (}N!z^{-N}{\big )}$ і яка може використовуватися при великих значень $\operatorname {Re} (z)$. Відносна похибка такої апроксимації приблизно зображена на рисунку (для різних значень $N$ кількості доданків у сумі).

Експоненціальна та логарифмічна поведінка: двостороння оцінка

Двостороння оцінка $\operatorname {E} _{1}$ елементарними функціями.

З двох рядів, які показані в попередніх підрозділах випливає, що $\operatorname {E} _{1}$ поводить себе як від'ємна експонента для великих значень аргументу, і як логарифм — для малих значень. Для додатних дійсних значень аргументу $\operatorname {E} _{1}$ можна обмежити елементарними функціями наступним чином:

${\frac {1}{2}}{\rm {e}}^{-x}\ln \left(1+{\frac {2}{x}}\right)<\operatorname {E} _{1}(x)<{\rm {e}}^{-x}\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right),\qquad x>0.$

На рисунку ліва частина цієї нерівності зображена синім кольором, центральна частина $\operatorname {E} _{1}(x)$ позначена чорним кольором, а права частина нерівності — червоним.

Означення Ein

Функції $\operatorname {Ei}$ і $\operatorname {E} _{1}$ можна записати простіше, використовуючи цілу функцію $\operatorname {Ein}$, визначену як

$\operatorname {Ein} (z)=\int \limits _{0}^{z}(1-{\rm {e}}^{-t})\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{kk!}}$

(зауважте, що це лише знакозмінний ряд у наведеному вище означенні $\operatorname {E} _{1}$). Тоді

$\operatorname {E} _{1}(z)=-\gamma -\ln {z}+\operatorname {Ein} (z),\qquad |\operatorname {Arg} (z)|<\pi ,$

$\operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln {x}-\operatorname {Ein} (-x),\qquad x>0.$

Зв'язок з іншими функціями

Диференціальне рівняння Куммера

$z{\frac {{\rm {d}}^{2}w}{{\rm {d}}z^{2}}}+(b-z){\frac {{\rm {d}}w}{{\rm {d}}z}}-aw=0$

як правило, розв'язується за допомогою вироджених гіпергеометричних функцій $M(a,b,z)$ та $U(a,b,z)$. Але при $a=0$ та $b=1$ рівняння набуває вигляду

$z{\frac {{\rm {d}}^{2}w}{{\rm {d}}z^{2}}}+(1-z){\frac {{\rm {d}}w}{{\rm {d}}z}}=0,$

і для всіх $z$

$M(0,1,z)=U(0,1,z)=1$.

Другий розв'язок подається через $\operatorname {E} _{1}(-z)$. А саме,

$\operatorname {E} _{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}}{\bigg |}_{a=0},\qquad 0<\operatorname {Arg} (z)<2\pi$.

Інший зв'язок з виродженими гіпергеометричними функціями полягає в тому, що $\operatorname {E} _{1}$ — це добуток експоненціальної функції та $U(1,1,z)$:

$\operatorname {E} _{1}(z)={\rm {e}}^{-z}U(1,1,z)$.

Експоненційний інтеграл тісно пов'язаний з логарифмічною інтегральною функцією $\operatorname {li} (x)$ за допомогою формули

$\operatorname {li} ({\rm {e}}^{x})=\operatorname {Ei} (x)$

для ненульових дійсних значень $x$.

Експоненційний інтеграл можна також узагальнити до функції

$\operatorname {E} _{n}(x)=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-xt}}{t^{n}}}\,{\rm {d}}t$,

яку можна записати як частковий випадок неповної гамма-функції :

$\operatorname {E} _{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x)$.

Таку узагальнену форму іноді називають функцією Мізра, $\varphi _{m}(x)$, що визначається як

$\varphi _{m}(x)=\operatorname {E} _{-m}(x)$.

З використанням логарифма визначає узагальнену інтегро-експоненціальну функцію

$\operatorname {E} _{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int \limits _{1}^{\infty }(\log {t})^{j}{\frac {{\rm {e}}^{-zt}}{t^{s}}}\,{\rm {d}}t$.

Невизначений інтеграл

$\operatorname {Ei} (a\cdot b)=\iint {\rm {e}}^{ab}{\rm {d}}a\,{\rm {d}}b$

за формою схожий на звичайну твірну функцію для ${\rm {d}}(n)$, кількість дільників числа $n$:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\rm {d}}(n)x^{n}=\sum _{a=1}^{\infty }\sum _{b=1}^{\infty }x^{ab}$.

Похідні

Похідні узагальнених функцій $\operatorname {E} _{n}$ можна обчислювати за формулою:

$\operatorname {E} '_{n}(z)=-\operatorname {E} _{n-1}(z),\qquad n=1,2,3,\dots$.

Зауважимо, що функція $\operatorname {E} _{0}$ — це просто ${\rm {e}}^{-z}/z$, і таким чином таке рекурсивне співвідношення досить зручне.

Експоненційний інтеграл уявного аргументу

Графік дійсної (чорна крива) та уявної (червона крива) частин функції $\operatorname {E} _{1}(ix)$.

Якщо $z$ є уявним та має невід'ємну дійсну частину, то можна використовувати формулу

$\operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{tz}}{t}}\,{\rm {d}}t$

для співвідношення з тригонометричними інтегралами $\operatorname {Si}$ та $\operatorname {Ci}$:

$\operatorname {E} _{1}(ix)=i\left[-{\frac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x),\qquad x>0$.

Дійсні та уявні частини функції $\operatorname {E} _{1}(ix)$ зображені на рисунку.

Наближення

Існує ряд наближень для експоненціальної інтегральної функції. Зокрема,

• Наближення Сваме та Охії

$\operatorname {E} _{1}(x)=\left(A^{-7{,}7}+B\right)^{-0{,}13}$,

де

$A=\ln \left[\left({\frac {0{,}56146}{x}}+0{,}65\right)(1+x)\right]$,

$B=x^{4}{\rm {e}}^{7{,}7x}(2+x)^{3{,}7}$.

• Наближення Аллена та Гастінгса

$\operatorname {E} _{1}(x)={\begin{cases}-\ln {x}+{\boldsymbol {a}}{\boldsymbol {x}}_{5},\qquad x\leq 1,\\{\dfrac {{\rm {e}}^{-x}}{x}}{\dfrac {{\boldsymbol {b}}{\boldsymbol {x}}_{3}}{{\boldsymbol {c}}{\boldsymbol {x}}_{3}}},\qquad x\geq 1,\end{cases}}$

де

${\boldsymbol {a}}\triangleq [-0{,}57722,\,0{,}99999,\,-0{,}24991,\,0{,}05519,\,-0{,}00976,\,0{,}00108],$

${\boldsymbol {b}}\triangleq [0{,}26777,\,8{,}63476,\,18{,}05902,\,8{,}57333],$

${\boldsymbol {c}}\triangleq [3{,}95850,\,21{,}09965,\,25{,}63296,\,9{,}57332],$

${\boldsymbol {x}}_{k}\triangleq \left[x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}\right]^{T}.$

• Неперервний ланцюговий дріб

$\operatorname {E} _{1}(x)={\cfrac {{\rm {e}}^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\dots }}}}}}}}}}}}$.

• Наближення Баррі зі співавторами

$\operatorname {E} _{1}(x)={\frac {{\rm {e}}^{-x}}{G+(1-G){\rm {e}}^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right]$,

де

$h={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}$,

$q={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {\frac {31}{26}}}$,

$h_{\infty }={\frac {(1-G)\left(G^{2}-6G+12\right)}{3G(2-G)^{2}b}}$,

$b={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}$,

$G={\rm {e}}^{-\gamma }$,

$\gamma$ — стала Ейлера–Маскероні.

Застосування

• Залежність теплообміну від часу.

• Нерівноважний потік ґрунтових вод у рівнянні Тейса (функція свердловини).

• Переміщення радіації у міжзоряному просторі та земній атмосфері.

• Рівняння радіальної дифузії для перехідного або нестаціонарного потоку з лінійними джерелами та стоками.

• Розв'язок рівняння переміщення нейтронів у спрощеній 1-D геометрії.

Див. також

• Інтеграл Гудвіна–Статона

• Функції Біклі–Нейлора

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Abramowitz, Milton; Irene Stegun (1964). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Abramowitz and Stegun. New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0., Chapter 5.
• Bender, Carl M.; Steven A. Orszag (1978). Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-004452-4.
• Bleistein, Norman; Richard A. Handelsman (1986). Asymptotic Expansions of Integrals. Dover. ISBN 978-0-486-65082-1.
• Busbridge, Ida W. (1950). On the integro-exponential function and the evaluation of some integrals involving it. Quart. J. Math. (Oxford). 1 (1): 176—184. Bibcode:1950QJMat...1..176B. doi:10.1093/qmath/1.1.176.
• Stankiewicz, A. (1968). Tables of the integro-exponential functions. Acta Astronomica. 18: 289. Bibcode:1968AcA....18..289S.
• Sharma, R. R.; Zohuri, Bahman (1977). A general method for an accurate evaluation of exponential integrals E₁(x), x>0. J. Comput. Phys. 25 (2): 199—204. Bibcode:1977JCoPh..25..199S. doi:10.1016/0021-9991(77)90022-5.
• Kölbig, K. S. (1983). On the integral exp(−μt)t^ν−1log^mt dt. Math. Comput. 41 (163): 171—182. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0701632-1.
• Milgram, M. S. (1985). The generalized integro-exponential function. Mathematics of Computation. 44 (170): 443—458. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4. JSTOR 2007964. MR 0777276.
• Misra, Rama Dhar; Born, M. (1940). On the Stability of Crystal Lattices. II. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 36 (2): 173. Bibcode:1940PCPS...36..173M. doi:10.1017/S030500410001714X.
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1988). On the evaluation of generalized exponential integrals E_ν(x). J. Comput. Phys. 78 (2): 278—287. Bibcode:1988JCoPh..78..278C. doi:10.1016/0021-9991(88)90050-2.
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1990). Recent results for generalized exponential integrals. Computer Math. Applic. 19 (5): 21—29. doi:10.1016/0898-1221(90)90098-5.
• MacLeod, Allan J. (2002). The efficient computation of some generalised exponential integrals. J. Comput. Appl. Math. 148 (2): 363—374. Bibcode:2002JCoAm.138..363M. doi:10.1016/S0377-0427(02)00556-3.

Зовнішні посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), exponential function Integral exponential function, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• NIST documentation on the Generalized Exponential Integral [Архівовано 8 лютого 2020 у Wayback Machine.]
• Weisstein, Eric W. Exponential Integral(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. En-Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals [Архівовано 6 квітня 2020 у Wayback Machine.] in DLMF.