Комплексний логарифм

Наочне подання функції натурального комплексного логарифма (головна гілка). Аргумент значення функції позначається кольором, а модуль яскравістю

Ко́мплексний логари́фм — аналітична функція, що отримується поширенням дійсного логарифма на всю комплексну площину (крім нуля). Існує кілька еквівалентних способів такого поширення. Має широке застосування в комплексному аналізі. На відміну від дійсного випадку, функція комплексного логарифма багатозначна.

Визначення та властивості

Для комплексних чисел логарифм можна визначити так само, як і, для дійсних, тобто як обернення показникової функції. На практиці використовують практично лише натуральний комплексний логарифм, основа якого — число Ейлера $e$: зазвичай його позначають $\mathrm {Ln} \,z$.

Натуральний логарифм комплексного числа $z$ визначається як розв'язок $w$ рівняння $e^{w}=z.$

Інші, еквівалентні цьому, варіанти визначення наведено нижче.

У полі комплексних чисел розв'язок цього рівняння, на відміну дійсного випадку, не визначено однозначно. Наприклад, за тотожністю Ейлера $e^{\pi i}=-1$; однак також $e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1$. Це пов'язано з тим, що показникова функція вздовж уявної осі є періодичною (з періодом $2\pi$), і нескінченно багато разів набуває тих самих значень. Таким чином, комплексна логарифмічна функція $w=\mathrm {Ln} \,z$ є багатозначною.

Комплексний нуль не має логарифма, оскільки комплексна експонента не набуває нульового значення. Ненульове $z$ можна подати в показниковій формі:

$z=r\cdot e^{i(\varphi +2\pi k)}\;\;,$ де $k$ — довільне ціле число.

Тоді $\mathrm {Ln} \,z$ знаходять за формулою:

$\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)$

Тут $\ln \,r=\ln \,|z|$ — дійсний логарифм. Звідси випливає:

Комплексний логарифм $\mathrm {Ln} \,z$ існує для будь-якого $z\neq 0$, і його дійсна частина визначається однозначно, тоді як уявна частина має нескінченно багато значень, що відрізняються на ціле кратне $2\pi .$

Дійсна частина комплексного логарифма

З формули видно, що в одного й лише одного зі значень уявна частина перебуває в інтервалі $(-\pi ,\pi ]$ . Це значення називають головним значенням комплексного натурального логарифма. Відповідна (вже однозначна) функція називається головною гілкою логарифма та позначається $\ln \,z$. Іноді через $\ln \,z$ також позначають значення логарифма, що лежить не на головній гілці. Якщо $z$ — дійсне число, то головне значення його логарифма збігається зі звичайним дійсним логарифмом.

З наведеної формули також випливає, що дійсна частина логарифма визначається через компоненти аргументу так:

$\operatorname {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})$

На малюнку показано, що дійсна частина як функція компонентів центрально-симетрична і залежить лише від відстані до початку координат. Її отримують обертанням графіка дійсного логарифма навколо вертикальної осі. З наближенням до нуля функція прагямує до $-\infty .$

Логарифм від'ємного числа знаходять за формулою:

$\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )$

Приклади значень комплексного логарифма

Наведемо головне значення логарифма ($\ln$) та загальний його вираз ($\mathrm {Ln}$) для деяких аргументів:

$\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i$

$\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi$

$\ln(i)=i{\frac {\pi }{2}};\;\mathrm {Ln} (i)={\frac {1}{2}}i\pi (4k+1)$

Слід бути обережним при перетвореннях комплексних логарифмів, враховуючи, що вони багатозначні, і тому з рівності логарифмів будь-яких виразів не випливає рівність цих виразів. Приклад помилкового міркування:

$i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi$ — очевидна помилка.

Зазначимо, що ліворуч стоїть головне значення логарифма, а праворуч — значення нижчої гілки ($k=-1$). Причина помилки — необережне використання властивості $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$, яке, загалом, має на увазі в комплексному випадку весь нескінченний набір значень логарифма, а не лише головне значення.

Комплексна логарифмічна функція та ріманова поверхня

Ріманова поверхня для комплексного логарифма

У комплексному аналізі замість розгляду багатозначних функцій на комплексній площині прийнято інше рішення: розглядати функцію як однозначну, але визначену не на площині, а на складнішому многовиді, який називають рімановою поверхнею. Комплексна логарифмічна функція також належить до цієї категорії: її образ (див. рисунок) складається з нескінченного числа гілок, закручених у вигляді спіралі. Ця поверхня безперервна і однозв'язна. Єдиний нуль у функції (першого порядку) виходить, коли $z=1$. Особливі точки: $z=0$ і $z=\infty$ (точки галуження нескінченного порядку).

У силу однозв'язності ріманова поверхня логарифма є універсальною накривною для комплексної площини без точки $0$.

Аналітичне продовження

Логарифм комплексного числа також можна визначити як аналітичне продовження дійсного логарифма на всю комплексну площину. Нехай крива $\Gamma$ починається в одиниці, закінчується в z, не проходить через нуль і не перетинає від'ємної частинини дійсної осі. Тоді головне значення логарифма в кінцевій точці $w$ кривої $\Gamma$ можна визначити за формулою :

$\ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \over u}$

Якщо $\Gamma$ — проста крива (без самоперетинів), то для чисел, що лежать на ній, логарифмічні тотожності можна застосовувати без побоювань, наприклад:

$\ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma$

Головна гілка логарифмічної функції неперервна і диференційовна на всій комплексній площині, крім від'ємної частини дійсної осі, на якій уявна частина стрибком змінюється на $2\pi$. Але цей факт є наслідком штучного обмеження уявної частини головного значення інтервалом $(-\pi ,\pi ]$. Якщо розглянути всі гілки функції, то неперервність є у всіх точках, крім нуля, де функція не визначена. Якщо дозволити кривій $\Gamma$ перетинати від'ємну частину дійсної осі, то перший такий перетин переносить результат з гілки головного значення на сусідню гілку, а кожен наступний перетин викликає аналогічне зміщення по гілках логарифмічної функції (див. малюнок).

З формули аналітичного продовження випливає, що на будь-якій гілці логарифма:

${\frac {d}{dz}}\ln z={1 \over z}$

Для будь-якого кола $S$, що охоплює точку $0$:

$\oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i$

Інтеграл береться в додатному напрямку (проти годинникової стрілки). Ця тотожність лежить в основі теорії лишків.

Можна також визначити аналітичне продовження комплексного логарифма за допомогою версій ряду Меркатора, відомих для дійсного випадку:

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots$

(Ряд 1)

$\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)$

(Ряд 2)

Проте з вигляду цих рядів випливає, що в одиниці сума ряду дорівнює нулю, тобто ряд стосується лише до головної гілки багатозначної функції комплексного логарифма. Радіус збіжності обох рядів дорівнює 1.

Зв'язок із оберненими тригонометричними та гіперболічними функціями

Оскільки комплексні тригонометричні функції пов'язані з експонентою (формула Ейлера), то комплексний логарифм як обернена до експоненти функція пов'язаний із оберненими тригонометричними функціями:

$\operatorname {Arcsin} z=-i\operatorname {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})$

$\operatorname {Arccos} z=-i\operatorname {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})$

$\operatorname {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)$

$\operatorname {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)$

Гіперболічні функції на комплексній площині можна розглядати як тригонометричні функції уявного аргументу, тому тут має місце зв'язок із логарифмом:

$\operatorname {Arsh} z=\operatorname {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1}})$ — обернений гіперболічний синус

$\operatorname {Arch} z=\operatorname {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)$ — обернений гіперболічний косинус

$\operatorname {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)$ — обернений гіперболічний тангенс

$\operatorname {Arcth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)$ — обернений гіперболічний котангенс

Історія

Перші спроби поширити логарифми на комплексні числа робили на рубежі XVII-XVIII століть Лейбніц і Йоганн Бернуллі, однак створити цілісну теорію їм не вдалося — насамперед з тієї причини, що тоді ще не було чітко визначено поняття логарифма. Дискутували з цього приводу спочатку Лейбніц і Бернуллі, а в середині XVIII століття — д'Аламбер і Ейлер. Бернуллі та Д'Аламбер вважали, що слід визначити $\log(-x)=\log(x)$, тоді як Лейбніц доводив, що логарифм від'ємного числа — уявне число. Повну теорію логарифмів від'ємних і комплексних чисел опублікував у 1747—1751 роках Ейлер і вона, по суті, нічим не відрізняється від сучасної. Хоча суперечка тривала (д'Аламбер відстоював свою думку і докладно аргументував її в статті своєї «Енциклопедії» та інших працях), підхід Ейлера до кінця XVIII століття набув загального визнання.

У XIX столітті, з розвитком комплексного аналізу, дослідження комплексного логарифма стимулювало нові відкриття. Гаусс 1811 року розробив повну теорію багатозначності логарифмічної функції, яка визначається як інтеграл від ${\frac {1}{z}}$. Ріман, спираючись на вже відомі факти про цю та аналогічні функції, побудував загальну теорію ріманових поверхонь.

Розробка теорії конформних відображень показала, що меркаторівську проєкцію в картографії, яка виникла ще до відкриття логарифмів (1550), можна описати як комплексний логарифм.

Література

Теорія логарифмів

• Корн Г., Корн Т. [1] — М. : Наука, 1973. — 720 с. Архівовано з джерела 19 січня 2015
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М. : Наука, 1967. — 304 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М. : Наука, 1966. — 680 с.

Історія логарифмів

• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М. : Наука, 1972. — Т. III. Архівовано з джерела 24 березня 2017
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М. : Наука, 1981. — Т. II.