Інтегральне рівняння Абеля

Інтегральне рівняння Абеля — інтегральне рівняння вигляду

$\int _{0}^{x}\phi (s)(x-s)^{-{\frac {1}{2}}}\,ds=f(x)$

де $\ f(x)$ — відома функція, $\ \phi (x)$ — функція, яку потрібно знайти. Отримане і розв'язане Н. Абелем в 1823 при розгляді руху матеріальної точки у вертикальні площині під дією сили тяжіння, по деякій криві поверхні. Рівняння Абеля часто виникає при розв'язку обернених задач, наприклад з визначення потенціальної енергії за періодом коливань, чи при відновленні поля розсіяння за ефективним перерізом в класичній механіці. Це рівняння належить до класу рівнянь Вольтерра першого роду. Розглядають також узагальнене інтегральне рівняння Абеля

$\int _{a}^{x}\phi (s)(x-s)^{-\alpha }\,ds=f(x)$,

де $0<\alpha <1,0<a$. Якщо $f(x)$ неперервно диференційовна функція, то рівняння має єдиний неперервний розв'язок

$\phi (x)={\frac {\sin {\pi \alpha }}{\pi }}{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)dt}{(x-t)^{1-\alpha }}}$

В класі узагальнених функцій розв'язок існує при будь-яких $\alpha$

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Гельфанд И.М., Шилов Г.Е., Обобщенные функции и действия над ними, М., 1959
• Михлин С.Г. Лекции по линейним интегральним уравнениям, М., 1959
• Физическая энциклопедия. Т.1. Гл.ред. А.М.Прохоров. М. Сов.энциклопедия. 1988.