Адити́вна ене́ргія — чисельна характеристика підмножини групи , що ілюструє структурованість множини відносно групової операції. Термін увели Теренс Тао та Ван Ву [ru] [ 1]
Нехай
(
G
,
+
)
{\displaystyle (G,+)}
Адитивна енергія множин
A
⊂
G
{\displaystyle A\subset G}
B
⊂
G
{\displaystyle B\subset G}
E
+
(
A
,
B
)
{\displaystyle E_{+}(A,B)}
[ 2]
a
1
+
b
1
=
a
2
+
b
2
(
a
1
,
a
2
∈
A
,
b
1
,
b
2
∈
B
)
{\displaystyle a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)}
мультиплікати́вну ене́ргію (наприклад, у кільці ) як кількість
E
×
(
A
,
B
)
{\displaystyle E_{\times }(A,B)}
a
1
b
1
=
a
2
b
2
(
a
1
,
a
2
∈
A
,
b
1
,
b
2
∈
B
)
{\displaystyle a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)}
Найменшого значення
E
+
(
A
,
B
)
{\displaystyle E_{+}(A,B)}
a
+
b
(
a
∈
A
,
b
∈
B
)
{\displaystyle a+b\ (a\in A,b\in B)}
{
a
1
,
b
1
}
=
{
a
2
,
b
2
}
{\displaystyle \{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}}
A
=
B
{\displaystyle A=B}
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
породжувальної множини . Тоді
E
(
A
,
A
)
=
|
A
|
2
+
|
A
|
2
{\displaystyle E(A,A)={\frac {|A|^{2}+|A|}{2}}}
Найбільшого значення
E
+
(
A
,
B
)
{\displaystyle E_{+}(A,B)}
A
=
B
{\displaystyle A=B}
A
{\displaystyle A}
підгрупою
G
{\displaystyle G}
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
a
+
b
=
x
(
a
,
b
∈
A
)
{\displaystyle a+b=x\ (a,b\in A)}
|
A
|
{\displaystyle |A|}
E
+
(
A
,
A
)
=
|
A
|
3
{\displaystyle E_{+}(A,A)=|A|^{3}}
Відповідно, проміжні величини порядку зростання
E
+
(
A
,
A
)
{\displaystyle E_{+}(A,A)}
|
A
|
2
{\displaystyle |A|^{2}}
|
A
|
3
{\displaystyle |A|^{3}}
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
структурні теореми про існування досить великих підгруп
G
{\displaystyle G}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
[ 3]
G
{\displaystyle G}
скруту групи
G
{\displaystyle G}
узагальнені арифметичні прогресії .
E
+
(
A
,
B
)
=
E
+
(
A
,
−
B
)
=
E
−
(
A
,
B
)
{\displaystyle E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)}
E
+
(
A
,
B
)
|
A
+
B
|
≥
|
A
|
2
|
B
|
2
{\displaystyle E_{+}(A,B)|A+B|\geq |A|^{2}|B|^{2}}
A
+
B
=
{
a
+
b
:
a
∈
A
,
b
∈
B
}
{\displaystyle A+B=\left\lbrace {a+b:a\in A,b\in B}\right\rbrace }
[ 2] Доведення
Позначимо
λ
(
x
)
=
#
{
(
a
,
b
)
∈
A
×
B
:
a
+
b
=
x
}
{\displaystyle \lambda (x)=\#\left\lbrace {(a,b)\in A\times B:a+b=x}\right\rbrace }
Тоді
E
+
(
A
,
B
)
=
∑
x
∈
A
+
B
λ
(
x
)
2
{\displaystyle E_{+}(A,B)=\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)^{2}}}
нерівністю Коші-Буняковського ,
E
+
(
A
,
B
)
≥
1
|
A
+
B
|
∑
(
∑
x
∈
A
+
B
λ
(
x
)
)
2
=
1
|
A
+
B
|
(
|
A
|
|
B
|
)
2
{\displaystyle E_{+}(A,B)\geq {\frac {1}{|A+B|}}\sum \left({\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)}}\right)^{2}={\frac {1}{|A+B|}}(|A||B|)^{2}}
Для кільця лишків за простим модулем
G
=
F
p
{\displaystyle G={\mathbb {F} }_{p}}
тригонометричні суми . Позначимо
e
p
(
k
)
=
e
2
π
k
p
i
{\displaystyle e_{p}(k)=e^{2\pi {\frac {k}{p}}i}}
E
+
(
A
,
B
)
=
1
p
∑
t
=
0
p
−
1
|
∑
a
∈
A
e
p
(
t
a
)
|
2
|
∑
b
∈
B
e
p
(
t
b
)
|
2
{\displaystyle E_{+}(A,B)={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}}
Доведення
Скористаємось нотацією Айверсона та індикаторною тотожністю .
E
+
(
A
,
B
)
=
∑
a
1
,
a
2
∈
A
,
b
1
,
b
2
∈
B
[
a
1
+
b
1
=
a
2
+
b
2
]
=
∑
a
1
,
a
2
∈
A
,
b
1
,
b
2
∈
B
1
p
∑
t
=
0
p
−
1
e
p
(
t
(
a
1
+
b
1
−
a
2
−
b
2
)
)
=
1
p
∑
t
=
0
p
−
1
∑
a
1
,
a
2
∈
A
,
b
1
,
b
2
∈
B
e
p
(
t
(
a
1
+
b
1
−
a
2
−
b
2
)
)
{\displaystyle E_{+}(A,B)=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{[a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}]}=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{{\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2}))}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2}))}}}
=
1
p
∑
t
=
0
p
−
1
(
∑
a
∈
A
e
p
(
t
a
)
)
(
∑
a
∈
A
e
p
(
t
a
)
)
¯
(
∑
b
∈
B
e
p
(
t
b
)
)
(
∑
b
∈
B
e
p
(
t
b
)
)
¯
=
1
p
∑
t
=
0
p
−
1
|
∑
a
∈
A
e
p
(
t
a
)
|
2
|
∑
b
∈
B
e
p
(
t
b
)
|
2
{\displaystyle ={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right){\overline {\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right)}}\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\right){\overline {\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\right)}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}}
Зауважимо, що вираз через тригонометричні суми справедливий тільки для адитивної енергії, але не для мультиплікативної, оскільки явно використовує властивості додавання в
F
p
{\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}}
.
Адитивну та мультиплікативну енергії використовують у адитивній та арифметичній комбінаториці для аналізу комбінаторних сум та добутків множин
A
+
B
=
{
a
+
b
:
A
+
B
}
{\displaystyle A+B=\left\lbrace {a+b:A+B}\right\rbrace }
теореми сум-добутків .
Існують два основних узагальнення рівняння, яке визначає адитивну енергію, — за кількістю доданків та за кількістю рівностей:
E
k
(
A
)
=
#
{
a
1
−
b
1
=
a
2
−
b
2
=
⋯
=
a
k
−
b
k
:
a
i
,
b
i
∈
A
}
=
∑
s
|
A
∩
(
A
+
s
)
|
k
{\displaystyle E_{k}(A)=\#\left\lbrace {a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\dots =a_{k}-b_{k}\ :\ a_{i},b_{i}\in A}\right\rbrace =\sum \limits _{s}{|A\cap (A+s)|^{k}}}
T
k
(
A
)
=
#
{
∑
i
=
1
k
x
i
=
∑
i
=
1
k
y
i
:
x
i
,
y
i
∈
A
}
{\displaystyle T_{k}(A)=\#\left\lbrace {\sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{k}{y_{i}}\ :\ x_{i},y_{i}\in A}\right\rbrace }
Їх називають старшими енергіями й іноді можна отримати їх оцінки, не отримуючи оцінок звичайної адитивної енергії[ 6] нерівність Гельдера дозволяє (із значним погіршенням) оцінювати звичайну енергію через старші.
Для параметра
k
{\displaystyle k}
E
k
{\displaystyle E_{k}}
↑ co.combinatorics - Where did the term "additive energy" originate? - MathOverflow . Архів оригіналу за 23 серпня 2019. Процитовано 23 серпня 2019 .↑ а б М. З. Гараев, Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, УМН, 2010, том 65, выпуск 4 (394) , стор. 25 (за нумерацією на сторінках)↑ Лекции лаборатории Чебышёва, курс «Аддитивная комбинаторика» (Фёдор Петров), лекция 6 , з моменту 1:11:30↑ arXiv :1808.08465v4 Misha Rudnev, George Shakan, Ilya Shkredov, «Stronger sum-product inequalities for small sets», с. 5, наслідок 7
![{\displaystyle E_{+}(A,B)=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{[a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}]}=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{{\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2}))}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2}))}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e948f9500b419ea189c6276b0922baecd9809e7)
