Нерівність Гельдера в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це фундаментальна властивість просторів
.
Нехай
— простір з мірою,
— простір функцій вигляду
із скінченним інтегровним
-им степенем.
Тоді в останньому визначена норма
![{\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p},\qquad p\geq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704ec45063807f148dae92b821e02b11db10bc14)
Нехай
![{\displaystyle f\in L^{p},\quad g\in L^{q},\quad p,q\geq 1,\quad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779d7af18c44ee9dc775a8d9e340223a3a895ebb)
Тоді
![{\displaystyle f\cdot g\in L^{1},\quad \|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21fe712f3b716def5513d6189bcd00d628a59612)
Нехай
— неперервна строго зростаюча функція. Тоді існує обернена функція
і тоді для всіх додатних
і
![{\displaystyle ab\leq \int _{0}^{a}\phi (x)dx+\int _{0}^{b}\phi ^{-1}(y)dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60c911712873aba00de84256ea51fdc806cd54a)
Нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді якщо
Для розуміння доведення достатньо просто намалювати з довільною
Доведення нерівності Гельдера покладається на такий факт:
для всіх
і для будь-яких додатних сталих
і
|
(1)
|
де
тобто
Для
нерівність очевидна: оскільки
і звідси
з цього
Доведемо нерівність у загальному випадку. Використаємо лему наведену вище. Візьмімо
Оскільки
маємо
і
є неперервною і строго висхідною функцією. Отже,
і з леми ми отримуємо
![{\displaystyle ab\leq \int _{0}^{a}x^{p-1}dx+\int _{0}^{b}y^{\frac {1}{p-1}}dy={\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{p'}}{p'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dbce7bf283ffca4c74dd8734ae579f52c0881eb)
Видно, що нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді коли
що тотожно до
Покладемо
і
Завдяки (1) ми знаходимо
![{\displaystyle {\frac {|x_{i}y_{i}|}{d_{p}(x,0)d_{p'}(y,0)}}\leq {\frac {|x_{i}|^{p}}{p[d_{p}(x,0)]^{p}}}+{\frac {|y_{i}|^{p'}}{p'[d_{p'}(y,0)]^{p'}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81127409adce5b01c8a46f161cf94bad3de017b3)
і звідси, беручи суму по всіх
від 1 до
![{\displaystyle {\frac {\Sigma _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|}{d_{p}(x,0)d_{p'}(y,0)}}\leq {\frac {\Sigma _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}{p[d_{p}(x,0)]^{p}}}+{\frac {\Sigma _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p'}}{p'[d_{p'}(y,0)]^{p'}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c86062ab516aadcf721f64cb5284341fc40dbb)
Отже,
що і потрібно було довести.
Поклавши
, отримуємо Нерівність Коші—Буняковского для простору
.
Розглянемо Евклідів простір
або
.
-норма у цьому просторі має вигляд:
,
тоді:
.
Нехай
— скінченна міра на
. Тоді множина всіх послідовностей
, таких що
,
називається
. Нерівність Гельдера для цього простору має вигляд:
.
Нехай
— ймовірнісний простір. Тоді
складається з випадкових величин із скінченним
-м моментом:
, де символ
позначає математичне сподівання.
Нерівність Гельдера в цьому випадку має вигляд:
![{\displaystyle \mathbb {E} |XY|\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\mathbb {E} |Y|^{q}\right)^{1/q},\quad \forall X\in L^{p},Y\in L^{q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b38950cf69dce4632947c3195f696291b18607)
|
---|
| Середнє |
|
---|
| Геометрія |
|
---|
| Теорія ймовірностей та мат. статистика |
|
---|
| Теореми |
|
---|
| Нерівності |
|
---|
|